题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足，$a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\dfrac{a^2_{n+1}+(-1)^n}{a_n}$，其中 $n\geqslant1$． 问题1 求 $a_3,a_4,a_5$ 的值； 答案1 $a_3=3,a_4=5,a_5=8$ 解析1 $a_3=3,a_4=5,a_5=8$． 备注1 问题2 是否存在实数 $\lambda$ 使得数列 $b_n=a_{n+1}-\lambda a_n$ 是等差数列？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由； 答案2 不存在 解析2 不存在这样的实数 $\lambda$，用反证法证明如下：<br/>若存在实数 $\lambda$ 使得数列 $b_n=a_{n+1}-\lambda a_n$ 是等差数列，则$$b_1=2-\lambda,b_2=3-2\lambda,b_3=5-3\lambda,$$于是$$b_2-b_1=1-\lambda=b_3-b_2=2-\lambda,$$矛盾． 备注2 问题3 求实数 $\mu$ 的值，使数列 $c_n=a_{n+1}-\mu a_n$ 是等比数列． 答案3 $\mu=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$ 解析3 首先证明数列 $\{a_n\}$ 是斐波那契数列$$a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,$$也就是证明斐波那契数列具有性质$$a_{n+2}=\dfrac{a^2_{n+1}+(-1)^n}{a_n}.$$用数学归纳法证明如下：<br/><case>归纳基础</case> 当 $n=1$ 时，容易验证 $a_3=3$ 成立；<br/><case>递推证明</case>设当 $n=k$ 时命题成立，即$$a_{k+2}a_k=a^2_{k+1}+(-1)^k.$$当 $n=k+1$ 时，\[\begin{split}a_{k+3}a_{k+1}-[a^2_{k+2}+(-1)^{k+1}]&=(a_k+2a_{k+1})a_{k+1}-(a_{k+1}+a_k)^2+(-1)^k\\&=a^2_{k+1}+(-1)^n-a_k(a_k+a_{k+1})\\&=0.\end{split}\]于是$$a_{n+2}=\dfrac{a^2{n+1}+(-1)^n}{a_n}$$仍成立．<br/>因此数列 $\{a_n\}$ 是斐波那契数列，即具有性质$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n.$$若数列 $\{c_n\}$ 是等比数列，设公比为 $q$，则有$$a_{n+2}=(\mu+q)a_{n+1}-q\mu a_n,$$对比系数，有$$\mu+q=1,\mu q=-1,$$即 $\mu,q$ 是方程 $x^2-x-1=0$ 的两个根，解得 $\mu=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$． 备注3