已知实数 $x,y$ 满足$$\left(\sqrt{x^2+2015}-y\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2015}-x\right)=2015,$$求 $x+y$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
先证明$$\sqrt{x^2+2015}-y>0\land \sqrt{y^2+2015}-x>0,$$具体过程从略．
再证明 $x+y=0$．用反证法，若不然，当 $x+y>0$ 时，不妨设 $x\geqslant y$，则有$$x>0,x\geqslant y>-x,$$于是 $y^2\leqslant x^2$，有$$\sqrt{y^2+2015}-x\leqslant \sqrt{x^2+2015}-x,$$而另一方面，$$\sqrt{x^2+2015}-y<\sqrt{x^2+2015}+x,$$于是$$LHS<\left(\sqrt{x^2+2015}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)=2015,$$矛盾．
当 $x+y<0$ 时，同理可证．
经验证，$x+y=0$ 时原式成立，因此 $x+y$ 的值为 $0$．
再证明 $x+y=0$．用反证法，若不然，当 $x+y>0$ 时，不妨设 $x\geqslant y$，则有$$x>0,x\geqslant y>-x,$$于是 $y^2\leqslant x^2$，有$$\sqrt{y^2+2015}-x\leqslant \sqrt{x^2+2015}-x,$$而另一方面，$$\sqrt{x^2+2015}-y<\sqrt{x^2+2015}+x,$$于是$$LHS<\left(\sqrt{x^2+2015}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)=2015,$$矛盾．
当 $x+y<0$ 时，同理可证．
经验证，$x+y=0$ 时原式成立，因此 $x+y$ 的值为 $0$．
答案
解析
备注
