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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15107 5d073177210b280220ed46ba 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 是给定的整数．求证：存在整数 $a,b$ 和 $k$，其中 $a,b$ 不能被 $2$ 整除，$k\geqslant 0$，使得
$2m = a^{19} + b^{99} + k\cdot 2^{1999}$		 2022-04-17 19:38:10
15103 5d0cb8a7210b28021fc77653 高中 解答题 自招竞赛 求所有满足 $a\geqslant 2,m\geqslant 2$ 的三元正整数组 $(a,m,n)$，使得 $a^n+ 203$ 是 $a^m+ 1$ 的倍数． 2022-04-17 19:36:10
15099 5d105b1b210b280220ed4b6b 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 是平面上 $n$ 个点组成的集合，满足：
（1）$M$ 中存在 $7$ 个点是一个凸七边形的 $7$ 个顶点；
（2）对 $M$ 中任意 $5$ 个点，若这 $5$ 个点是一个凸五边形的 $5$ 个顶点，则此凸五边形内部至少含有 $M $ 中的一个点．
求 $n$ 的最小值．		 2022-04-17 19:34:10
15097 5d106a0f210b280220ed4bad 高中 解答题 自招竞赛 证明：除了有限个正整数外，其他正整数 $n$ 均可表示为 $2 004$ 个正整数之和，即 $n=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2004}$ 且满足 $1 \leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{2004}, a_{i} | a_{i+1}, i=1,2, \cdots,2003$． 2022-04-17 19:34:10
15070 5d413f44210b28021fc790ad 高中 解答题 自招竞赛 对任意的正整数 $n$，记 $D_n$ 为 $n$ 的正约数全体，$f_i(n)$ 为集合 $F_{i}(n)=\left\{a \in D_{n}+a \equiv i(\bmod 4)\right\}$ 的元素个数，其中 $i=1,2$．求最小的正整数 $m$，使得 $2 f_{1}(m)-f_{2}(m)=2017$． 2022-04-17 19:21:10
15036 5f2648cf210b2865a6788614 高中 解答题 自招竞赛 从 $\left(2019\times2020\right)^{2021}$ 的因数中选出 $n$ 个，使其中任意两个的乘积不为平方数．求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 19:00:10
15023 5fffb3ee210b28117636f9b8 高中 解答题 自招竞赛 设 $m, n$ 为不等式的正整数．证明：$(m,n)+(m+1,n+1)+(m+2,n+2)\leq2|m-n|+1$，并确定等号成立的条件． 2022-04-17 19:53:09
15021 600130c0210b281da2ea2d08 高中 解答题 自招竞赛 证明：对于任意正整数 $n, n(2^n-1)$ 均可表示成 $n$ 个不同的 $2$ 的幂次之和的形式． 2022-04-17 19:52:09
15017 6001348f210b281da2ea2d41 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数对 $(a,b)$，使得 $a^2b~|~(b^2+3a)$． 2022-04-17 19:49:09
15005 601b68ac25bdad000ac4d3bc 高中 解答题 自招竞赛 试求所有的正整数对 $(a,b)$ 满足：对任意正整数 $n$，存在正整数 $k$，使得 $a^k+b$ 被 $2^n$ 整除． 2022-04-17 19:43:09
11674 590bf677d42ca700093fc58b 高中 填空题 自招竞赛 若分数 $\dfrac{p}{q}$（$p$、$q$ 为正整数）化成小数为 $\dfrac pq=0.198\cdots$，则当 $q$ 取最小值时，$p+q=$  ． 2022-04-16 22:12:33
11658 596314fe3cafba000ac43e0c 高中 填空题 自招竞赛 若 $4n+1,6n+1$ 都是完全平方数，则正整数 $n$ 的最小值是 ． 2022-04-16 22:02:33
11656 59631cb33cafba0009670cdf 高中 填空题 自招竞赛 能同时表示成连续 $9$ 个整数之和，连续 $10$ 个整数之和，以及连续 $11$ 个整数之和的最小正整数为 ． 2022-04-16 22:01:33
11649 59632f1e3cafba0009670d83 高中 填空题 自招竞赛 已知 $p,q$ 都是质数（素数），且 $7p+q$ 和 $2q+11$ 也都是质数，则 $p^q+q^p$ 的值是 ． 2022-04-16 22:58:32
11628 5964900422a5da00098641b5 高中 填空题 自招竞赛 已知正整数 $n=abc<10000$，其中 $a,b,c$ 均为素数，且 $2a+3b=c$，$4a+c+1=4b$，则 $n$ 的值为 ． 2022-04-16 22:47:32
11625 5966e3de030398000978b296 高中 填空题 自招竞赛 设 $a_n=2^n$，$b_n=5n-1,n\in\mathbb N^*$，$S=\{a_1,a_2,\cdots,a_{2015}\}\cap\{b_1,b_2,\cdots,b_{a_{2015}}\}$，则集合 $S$ 中的元素的个数为  ． 2022-04-16 22:45:32
11623 5966e3de030398000978b29b 高中 填空题 自招竞赛 使得 $\dfrac{p+1}{2}$ 和 $\dfrac{p^2+1}{2}$ 都是完全平方数的最大质数 $p$ 为  ． 2022-04-16 22:44:32
11615 59683a89030398000abf160e 高中 填空题 自招竞赛 十二个互不相同的正整数之和为 $2010$，则这些正整数的最大公约数的最大值是  ． 2022-04-16 22:42:32
11608 5968869b22d1400008181669 高中 填空题 自招竞赛 设 $p,q$ 是两个不同的质数，则 $p^{q-1}+q^{p-1}$ 被 $p\cdot q$ 除的余数是  ． 2022-04-16 22:37:32
11598 596dc8adbe56b5000abdd9a5 高中 填空题 自招竞赛 已知集合 $A=\{x\mid x=a_0+a_1\times 7+a_2\times 7^2+a_3\times 7^3\}$，其中 $a_i \in \{0,1,2,3,4,5,6\}$，$i=0,1,2,3 $，且 $a_3\neq 0$．若正整数 $m,n\in A$，且 $ m+n=2010$，$m>n$，则符合条件的正整数 $m$ 有  个． 2022-04-16 22:32:32
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