求所有的正整数对 $(a,b)$，使得 $a^2b~|~(b^2+3a)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
存在正整数 $k$，由条件知 $a^2bk=b^2+3a$ 于是，$a^2bk-3a=b^2$ 由此我们得到，$a~|~b^2,~~b~|~3a$．故 $\frac{b^2}{a}, \frac{3a}{b}, \frac{b^2+3a}{a^2b}=\frac{b}{a^2}+\frac{3}{ab}$ 均为整数．易知，$\frac{9a^2}{b^2}$ 为正整数．于是，$b^2~|~9a$．从而，存在正整数 $m,n$，有 $b^2m=9a,~~an =b^2$．于是，$mn=9$．由此我们得到，$n \in \{ 1 ,3 ,9\}$，于是，$b^2\in \{a,3a,9a\}$．即得 $ab~|~(n + 3)$．1．若 $n=1$，则 $b^2=a$．由条件得 $b^5~|~4b^2$，于是，$b^3~|~4$，即得 $a=b=1$．2．若 $n=3$，则 $b^2=3a$．由条件得 $\frac{b^5}{9}~|~2b^2$，即 $b^3~|~18$．由 $b$ 为 $3$ 的倍数，知此情况无解．由 $b$ 为 $3$ 的倍数知此情况无解．3．若 $n=9$，则 $b^2=9a$．故 $\frac{b^5}{81}~~\frac{4}{3}b^2$，于是，$b^3~|~108$．由 $b$ 为 $3$ 的倍数，知 $(a,b)=(l,3)$．综上，$(a,6)=(1,1),(1,3)$．
答案
解析
备注
