十二个互不相同的正整数之和为 $2010$，则这些正整数的最大公约数的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$15$
【解析】
设最大公约数为 $d$，$12$ 个数分别为 $a_1d$，$a_2d$，$\cdots$，$a_{12}d$，其中 $(a_1,a_2,\cdots,a_{12})=1$．
记 $\displaystyle S=\sum \limits_{i=1}^{12}a_i$，则 $2010=Sd$．欲使 $d$ 最大，当使 $S$ 取最小．
由于 $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ 互异，所以$$S\geqslant 1+2+\cdots +12=78,$$又因为 $S|2010$，但$$2010=2\times 3 \times 5 \times 67,$$其大于 $67$ 的最小正因数是 $2\times 67=134$，所以$$d \leqslant 15.$$且令 $(a_1,a_2,\cdots,a_{11},a_{12})=(1,2,\cdots,11,68)$，则 $d=15$ 可以取到．
记 $\displaystyle S=\sum \limits_{i=1}^{12}a_i$，则 $2010=Sd$．欲使 $d$ 最大，当使 $S$ 取最小．
由于 $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ 互异，所以$$S\geqslant 1+2+\cdots +12=78,$$又因为 $S|2010$，但$$2010=2\times 3 \times 5 \times 67,$$其大于 $67$ 的最小正因数是 $2\times 67=134$，所以$$d \leqslant 15.$$且令 $(a_1,a_2,\cdots,a_{11},a_{12})=(1,2,\cdots,11,68)$，则 $d=15$ 可以取到．
题目
答案
解析
备注
