若 $4n+1,6n+1$ 都是完全平方数，则正整数 $n$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$20$
【解析】
显然 $4n+1,6n+1$ 都是奇平方数，所以设$$6n+1=(2m+1)^2=4m(m+1)+1,$$则$$3n=2m(m+1).$$因为 $m(m+1)$ 为偶数，所以$$4|n,$$设 $n=4k$，则$$4n+1=16k+1,6n+1=24k+1,$$当 $k=1,2,3,4$ 时，$4n+1,6n+1$ 不同为平方数；
当 $k=5$，即 $n=20$ 时，$$4n+1=81 , 6n+1=121$$皆为平方数，因此正整数 $n$ 的最小值为 $20$．
当 $k=5$，即 $n=20$ 时，$$4n+1=81 , 6n+1=121$$皆为平方数，因此正整数 $n$ 的最小值为 $20$．
题目
答案
解析
备注
