求所有满足 $a\geqslant 2,m\geqslant 2$ 的三元正整数组 $(a,m,n)$，使得 $a^n+ 203$ 是 $a^m+ 1$ 的倍数．
【难度】
【出处】
2003第18届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于 $n,m$ 分三种情况讨论．
（i）$n<m$ 时，由 $a^{n}+203 \geqslant a^{m}+1$，有 $202 \geqslant a^{m}-a^{n} \geqslant a^{n}(a-1) \geqslant a(a-1)$ 所以 $2 \leqslant a \leqslant 14$
当 $a=2$ 时，$n$ 可取 $1,2, \cdots, 7$；
当 $a=3$ 时，$n$ 可取 $1,2,3,4$；
当 $a=4$ 时，$n$ 可取 $1,2,3$；
当 $5\leqslant a\leqslant 6$ 时，$n$ 可取 $1,2$；
当 $7\leqslant a\leqslant 14$ 时，$n=1$．
由 $a^m+1|a^n+203$ 可知，解为 $(2,2,1),(2,3,2)$ 和 $(5,2,1)$．
（ii）$n=m$ 时，$a^{m}+1 | 202$．由于 $202$ 仅有 $1,2,101,202$ 共 $4$ 个约数．而 $a \geqslant 2, m \geqslant 2, a^{m}+1 \geqslant 5$，故 $a^{m}=100$ 或 $201$．又 $m\geqslant 2$，所以解为 $(10,2,2)$．
（iii）$n>m$ 时，由 $a^{m}+1 | 203\left(a^{m}+1\right)$，有 $a^{m}+1 | a^{n}+203-\left(203 a^{m}+203\right)$ 即 $a^{m}+1 | a^{m}\left(a^{n-m}-203\right)$ 又 $\left(a^{m}+1, a^{m}\right)=1$ 所以 $a^{m}+1 | a^{n-m}-203$
（a）若 $a^{n-m}<203$，则令 $n-m=s \geqslant 1$，有 $a^{m}+1 | 203-a^{s}$ 所以 $\begin{aligned} 203-a^{s} & \geqslant a^{m}+1 202 \geqslant a^{s}+a^{m} \geqslant a^{m}+a = a\left(a^{m-1}+1\right) \geqslant a(a+1), 2 \leqslant a \leqslant 13 \end{aligned}$ 类似于（i）的讨论，可知 $(a,m,s)$ 的解为
$(2,2,3),(2,6,3),(2,4,4),(2,3,5),(2,2,7),(3,2,l),(4,2,2),(5,2,3),(8,2,1)$ 于是，$(a,m,n)$ 为 $(2,2,5),(2,6,9),(2,4,8),(2,3,8),(2,2,9),(3,2,3),(4,2,4),(5,2,5),(8,2,3)$
（b）$a^{n-m}=203$ 时，则 $a=203, n-m=1$，即解为 $(203, m, m+1), m \geqslant 2$
（c）$a^{n-m}>203$ 时，令 $n-m=s \geqslant 1$，则 $a^{m}+1 | a^{3}-203$ 又 $a^{s}-203 \geqslant a^{m}+1$，则 $s>m$，由 $\begin{aligned} a^{m}+1 | a^{s}+203 a^{m} &=\left(a^{s-m}+203\right) a^{m}=\left(a^{n-2 m}+203\right) a^{m}, \left(a^{m}+1, a^{m}\right)=1 \end{aligned}$ 所以 $a^{m}+1|a^{n-2 m}+203$
又 $s>m \Leftrightarrow n-m>m \Leftrightarrow n>2 m \Leftrightarrow n-2 m>0$．此时的解只能 由前面的解派生出来，即由 $(a, m, n) \rightarrow(a, m, n+2 m) \rightarrow \cdots \rightarrow(a, m, n+2 k m)$，且每一个派生出的解都满足 $a^{m}+1| a^{n}+203$
综上所述，所有解 $(a, m, n)$ 为
$(2,2,4 k+1),(2,3,6 k+2),(2,4,8 k+8),(2,6,12 k+9),(3,2,4 k+3),$ $(4,2,4 k+4),(5,2,4 k+1),(8,2,4 k+3),(10,2,4 k+2),(203, m,(2 k+1) m+1)$
其中，$k$ 为任意非负整数，且 $ m\geqslant 2$ 为整数．
（i）$n<m$ 时，由 $a^{n}+203 \geqslant a^{m}+1$，有 $202 \geqslant a^{m}-a^{n} \geqslant a^{n}(a-1) \geqslant a(a-1)$ 所以 $2 \leqslant a \leqslant 14$
当 $a=2$ 时，$n$ 可取 $1,2, \cdots, 7$；
当 $a=3$ 时，$n$ 可取 $1,2,3,4$；
当 $a=4$ 时，$n$ 可取 $1,2,3$；
当 $5\leqslant a\leqslant 6$ 时，$n$ 可取 $1,2$；
当 $7\leqslant a\leqslant 14$ 时，$n=1$．
由 $a^m+1|a^n+203$ 可知，解为 $(2,2,1),(2,3,2)$ 和 $(5,2,1)$．
（ii）$n=m$ 时，$a^{m}+1 | 202$．由于 $202$ 仅有 $1,2,101,202$ 共 $4$ 个约数．而 $a \geqslant 2, m \geqslant 2, a^{m}+1 \geqslant 5$，故 $a^{m}=100$ 或 $201$．又 $m\geqslant 2$，所以解为 $(10,2,2)$．
（iii）$n>m$ 时，由 $a^{m}+1 | 203\left(a^{m}+1\right)$，有 $a^{m}+1 | a^{n}+203-\left(203 a^{m}+203\right)$ 即 $a^{m}+1 | a^{m}\left(a^{n-m}-203\right)$ 又 $\left(a^{m}+1, a^{m}\right)=1$ 所以 $a^{m}+1 | a^{n-m}-203$
（a）若 $a^{n-m}<203$，则令 $n-m=s \geqslant 1$，有 $a^{m}+1 | 203-a^{s}$ 所以 $\begin{aligned} 203-a^{s} & \geqslant a^{m}+1 202 \geqslant a^{s}+a^{m} \geqslant a^{m}+a = a\left(a^{m-1}+1\right) \geqslant a(a+1), 2 \leqslant a \leqslant 13 \end{aligned}$ 类似于（i）的讨论，可知 $(a,m,s)$ 的解为
$(2,2,3),(2,6,3),(2,4,4),(2,3,5),(2,2,7),(3,2,l),(4,2,2),(5,2,3),(8,2,1)$ 于是，$(a,m,n)$ 为 $(2,2,5),(2,6,9),(2,4,8),(2,3,8),(2,2,9),(3,2,3),(4,2,4),(5,2,5),(8,2,3)$
（b）$a^{n-m}=203$ 时，则 $a=203, n-m=1$，即解为 $(203, m, m+1), m \geqslant 2$
（c）$a^{n-m}>203$ 时，令 $n-m=s \geqslant 1$，则 $a^{m}+1 | a^{3}-203$ 又 $a^{s}-203 \geqslant a^{m}+1$，则 $s>m$，由 $\begin{aligned} a^{m}+1 | a^{s}+203 a^{m} &=\left(a^{s-m}+203\right) a^{m}=\left(a^{n-2 m}+203\right) a^{m}, \left(a^{m}+1, a^{m}\right)=1 \end{aligned}$ 所以 $a^{m}+1|a^{n-2 m}+203$
又 $s>m \Leftrightarrow n-m>m \Leftrightarrow n>2 m \Leftrightarrow n-2 m>0$．此时的解只能 由前面的解派生出来，即由 $(a, m, n) \rightarrow(a, m, n+2 m) \rightarrow \cdots \rightarrow(a, m, n+2 k m)$，且每一个派生出的解都满足 $a^{m}+1| a^{n}+203$
综上所述，所有解 $(a, m, n)$ 为
$(2,2,4 k+1),(2,3,6 k+2),(2,4,8 k+8),(2,6,12 k+9),(3,2,4 k+3),$ $(4,2,4 k+4),(5,2,4 k+1),(8,2,4 k+3),(10,2,4 k+2),(203, m,(2 k+1) m+1)$
其中，$k$ 为任意非负整数，且 $ m\geqslant 2$ 为整数．
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解析
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