证明：对于任意正整数 $n, n(2^n-1)$ 均可表示成 $n$ 个不同的 $2$ 的幂次之和的形式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先，利用数学归纳法可证明对于任何正整数 $n$，均有 $n<2^n$．下面证明原题．当 $n=1$ 时，$n(2^n-1)=1\cdot (2^1-1)=2^0$，命题成立；当 $n\geqslant 2$ 时，不妨设 $n-1=2^{m_1}+2^{m_2}+\ldots+2^{m_k}$，其中，$0\leqslant m_1<m_2<\ldots<m_k$．因为 $n<2^n$，所以，$m_k<n$．则 $\begin{aligned}n(2^n-1)&=(n-1)\cdot2^n+((2^n-1)-(n-1))\\&=(2^{m_1}+2^{m_2}+\ldots+2^{m_k})\cdot 2^n+(2^0+2^1+\ldots+2^{n-1})-(2^{m_1}+2^{m_2}+\ldots+2^{m_k}))\\&=(\underbrace{ 2^{n+m_1}+2^{n+m_2}+\ldots+2^{n+m_k}}_{A})+(\underbrace{(2^0+2^1+\ldots+2^{n-1})-(2^{m_1}+2^{m_2}+\ldots+2^{m_k})}_{B}),\\\end{aligned}$，其中，$A$ 部分是由 $k$ 个不同的 $2$ 的幂次之和构成，其中 $2$ 的幂次不小于 $n$；$B$ 部分是由 $n-k$ 个不同的 $2$ 的幂次之和构成，其中 $2$ 的幂次小于 $n$．这表明，$n(2^n-1)$ 被表示成了 $n$ 个不同的 $2$ 的幂次之和的形式，命题得证．
答案
解析
备注
