设 $m, n$ 为不等式的正整数．证明：$(m,n)+(m+1,n+1)+(m+2,n+2)\leq2|m-n|+1$，并确定等号成立的条件．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于 $j=0,1,2$，则 $(m+j,n+j)=(m+j,|m-n|)$．于是，存在正整数 $a,b,c$，使得 $(m,n)=\frac{|m-n|}{a}, (m+1,n+1)=\frac{|m-n|}{b}, (m+2,n+2)=\frac{|m-n|}{c}$．由 $|m-n|$ 整除 $ma, (m+1)b, (m+2)c$，知 $|m-n|$ 整除 $ab, bc$．故 $|m-n|\leqslant ab, |m-n|\leqslant bc$．由 $b\geqslant \frac{|m-n|}{b}, b\geqslant \frac{|m-n|}{c}$，得$$\begin{aligned}(m,n)+(m+1,n+1)+(m+2,n+2)&=\frac{|m-n|}{a}+\frac{|m-n|}{b}+\frac{|m-n|}{c}\\&\leqslant 2b+\frac{|m-n|}{b}.\\\end{aligned}$$下面证明：$2b+\frac{|m-n|}{b}\leqslant 2|m-n|+1$．设 $|m-n|=k$，只要证 $2b^2+k\leqslant b(2k+1)\Leftrightarrow (b-k)(2b-1)\leqslant 0$．因为 $k=|m-n|\geqslant b\geqslant 1>\frac{1}{2}$，所以，$(b-k)(2b-1)\leqslant 0$．等号成立的条件为$$(m,n)=(k,k+1), (k+1,k), (2k,2k+2), (2k+2,2k) (k\in \mathbb{Z_+}).$$
答案
解析
备注
