因为 $7p+q$ 是质数，且 $7p+q>2$，所以 $7p+q$ 为奇数，故 $p,q$ 中必有一个为偶数（只能是 $2$）．
显然 $q\ne 2$（否则 $2q+11=15$，不是质数），从而 $p=2$，此时，$14+q$ 和 $2q+11$ 均为质数．
情形一 若 $q=3k+1(k\in \mathbb N^*)$，则$$14+q=3(k+5),$$不是质数；
情形二 若 $q=3k+2(k\in \mathbb N^*)$，则$$2q+11=3(2k+5),$$不是质数；
情形三 若 $q=3k(k\in \mathbb N^*)$，因为 $q$ 为质数，只能有 $q=3$，此时满足题设．
因此，$$p^q+q^p=2^3+3^2=17.$$