题目 使得 $\dfrac{p+1}{2}$ 和 $\dfrac{p^2+1}{2}$ 都是完全平方数的最大质数 $p$ 为 <nn> </nn>． 答案 $7$ 解析 设 $\dfrac {p+1}{2}=x^2$，$\dfrac {p^2+1}{2}=y^2$，易知$$p>y>x.$$因为$$p(p-1)=2(x+y)(y-x),$$所以$$p\mid x+y.$$又因为 $p>y>x$，所以$$p=x+y,$$结合 $p-1=2(y-x)$ 得$$p=4x-1 ,y=3x-1,$$从而有$$4x-1+1=2x^2,$$解得 $x=2$（$x=0$ 舍去），此时 $p=7$．<br/>经检验知，$p=7$ 满足条件． 备注