设 $p,q$ 是两个不同的质数，则 $p^{q-1}+q^{p-1}$ 被 $p\cdot q$ 除的余数是 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
因为 $p,q$ 是不同的质数，所以由费马定理知，$$p^{q-1}\equiv1\pmod q.$$又$$q^{p-1}\equiv 0\pmod q,$$所以$$p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod q.$$同理，$$p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod p.$$又 $[p,q]=pq$，故$$p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod{p\cdot q}.$$
题目
答案
解析
备注
