设 $m$ 是给定的整数．求证：存在整数 $a,b$ 和 $k$，其中 $a,b$ 不能被 $2$ 整除，$k\geqslant 0$，使得
$2m = a^{19} + b^{99} + k\cdot 2^{1999}$
$2m = a^{19} + b^{99} + k\cdot 2^{1999}$
【难度】
【出处】
1999第14届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $r$ 和 $s$ 是正整数，其中 $r$ 是奇数．如果 $x$ 和 $y$ 是 $\bmod 2^{r}$ 互不同余的奇数，那么，$x^{5}$ 和 $y^{5}$ 也使 $\bmod 2^{r}$ 互不同余．这是 因为 $x^{s}-y^{s}=(x-y)\left(x^{s-1}+x^{s-2} y+\cdots+y^{s-1}\right)$ 并且 $\left(x^{s-1}+x^{s-2} y+\cdots+y^{s-1}\right)$ 是奇数因此，当 $t$ 取遍 $\bmod 2^{r}$ 的既约剩余系（又称缩剩余系）时，$t^s$ 也取遍 $\bmod 2^{r}$ 的既约剩余系．
（2）根据（1）中的讨论，对于奇数 $2m - 1$，必有奇数 $a$ 使得 $2 m-1=a^{19}+q 2^{1999}$．于是对于 $b=1$，有 $2 m=a^{19}+b^{99}+q 2^{1999}$ 如果 $q\geqslant 0$，那么，题目的结论已得证．如果 $q < 0$，那么，分别以 $\tilde{a}=a-h 2^{1999}$ 和 $\tilde{q}=\dfrac{a^{19}-\left(a-h a^{1999}\right)^{19}}{2^{1999}}+q=\dfrac{\left(h 2^{1999}-a\right)^{19}+a^{19}}{2^{1990}}+q$ 代替 $a$ 和 $q$，仍有 $2 m=\tilde{a}^{19}+1^{99}+\tilde{q} 2^{1999}$ 取 $h$ 足够大可使 $\tilde{q} \geqslant 0$．
于是，题目的结论得到完全的证明
（2）根据（1）中的讨论，对于奇数 $2m - 1$，必有奇数 $a$ 使得 $2 m-1=a^{19}+q 2^{1999}$．于是对于 $b=1$，有 $2 m=a^{19}+b^{99}+q 2^{1999}$ 如果 $q\geqslant 0$，那么，题目的结论已得证．如果 $q < 0$，那么，分别以 $\tilde{a}=a-h 2^{1999}$ 和 $\tilde{q}=\dfrac{a^{19}-\left(a-h a^{1999}\right)^{19}}{2^{1999}}+q=\dfrac{\left(h 2^{1999}-a\right)^{19}+a^{19}}{2^{1990}}+q$ 代替 $a$ 和 $q$，仍有 $2 m=\tilde{a}^{19}+1^{99}+\tilde{q} 2^{1999}$ 取 $h$ 足够大可使 $\tilde{q} \geqslant 0$．
于是，题目的结论得到完全的证明
答案
解析
备注
