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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15420 597ae71b923066000adc649c 高中 解答题 自招竞赛 已知 $1<a_{i}<\sqrt 7,i=1,2,\cdots,n$，其中正整数 $n\geqslant 2$． 2022-04-17 19:31:13
15411 597e9324d05b90000c8057b1 高中 解答题 高中习题 记原点为点 ${P_1}\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，由点 ${P_1}$ 向三次函数 $y = {x^3} -3a{x^2} + bx$（$a\neq 0$）的图象（记为曲线 $C$）引切线，切于不同于点 ${P_1}$ 的点 ${P_2}\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$，再由点 ${P_2}$ 引此曲线 $C$ 的切线，切于不同于点 ${P_2}$ 的点 ${P_3}\left( {{x_3} , {y_3}} \right)$．如此继续作下去，得到点列 $\left\{ {{P_n}\left( {{x_n} , {y_n}} \right)} \right\}$．试回答下列问题： 2022-04-17 19:26:13
15410 597e9767d05b900009165165 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{3 \cdot {2^k}+2}}}<\dfrac{4}{7}$． 2022-04-17 19:25:13
15408 597e9cf2d05b90000addb35c 高中 解答题 高中习题 已知 $\sin x , \cos x , \tan x$ 是一个双向无穷等比数列中的三项，求证：$\cot x$ 也是其中的一项． 2022-04-17 19:23:13
15404 597ec5e2d05b90000916526e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1}=\dfrac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\sin \left( {\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}{a_n}} \right)$． 2022-04-17 19:22:13
15403 597ed2f8d05b9000091652c0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_0}=\dfrac{1}{2}$，${a_n}={a_{n-1}}+\dfrac{1}{{{n^2}}} \cdot a_{n-1}^2$，求证：$\dfrac{{n+1}}{{n+2}}<{a_n}<n$． 2022-04-17 19:21:13
15402 597ed464d05b90000c805930 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 单调递增，${a_1}=2$，$\dfrac{{{a_{2n}}}}{{{a_n}}} \leqslant 1+\dfrac{1}{n}$，求证：$a_n\leqslant 12$． 2022-04-17 19:21:13
15396 5982ce8765a6ba00070eee5e 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)=\dfrac{ax+1}{3x-1}$，方程 $f(x)=-4x+8$ 有两个不同的正根，且一根是另一根的 $3$ 倍．等差数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$ 与 $T_n$，且 $\dfrac{S_n}{T_n}=f(n)$（$n=1,2,3,\cdots$）． 2022-04-17 19:17:13
15385 59882b8a5ed01a000ba75c34 高中 解答题 自招竞赛 （12分）数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，满足：$a_{1}=1$，$3tS_{n}-(2t+3)S_{n-1}=3t$，其中 $t>0,n\in\mathbb N^{*}$ 且 $n\geqslant 2$． 2022-04-17 19:10:13
15377 598917ec5ed01a000ba75cca 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac{12}{11}$，$a_{n+1}=\dfrac{4a_n}{2a_n+1}$，$n=1,2,\cdots$． 2022-04-17 19:05:13
15376 59891dde6f55a500076fdca5 高中 解答题 自招竞赛 设 $x\in\mathbb N$ 满足 $\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{2013}<\dfrac{2014}{2013}$．数列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 是公差为 $x^{2013}$，首项 $a_{1}=(x+1)^{2}x^{2012}-1$ 的等差数列；数列 $b_{1},b_{2},\cdots,b_{2013}$ 是公比为 $\dfrac{1+x}{x}$，首项 $b_{1}=(x+1)x^{2013}$ 的等比数列，求证：$b_{1}<a_{1}<b_{2}<\cdots<a_{2012}<b_{2013}$． 2022-04-17 19:05:13
15372 59896d0b5a1cff0007a8cb46 高中 解答题 自招竞赛 给定正数数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $S_{n}\geqslant 2S_{n-1}$，$n=2,3,\cdots$，这里 $S_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}$．证明：存在常数 $C>0$，使得 $x_{n}\geqslant C\cdot 2^{n}$，$n=1,2,\cdots$． 2022-04-17 19:02:13
15368 598a6e825a1cff0009ea2352 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是整数 $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列，且满足 ① $a_1=1$；② $|a_i-a_{i-1}|\leqslant 2$，$i=2,3,\cdots,n$．上述排列的个数记为 $f(n)$，试求 $f(2010)$ 被 $3$ 除的余数． 2022-04-17 19:01:13
15365 598aa97640b385000cb72ea7 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1>0;x_{n+1}=\sqrt 5x_n+2\sqrt{x_n^2+1},n \in\mathbb N^*$．证明：在 $x_1,x_2,\cdots, x_{2016}$ 中，至少存在 $672$ 个无理数． 2022-04-17 19:59:12
15360 598abce191e0350007fda02b 高中 解答题 自招竞赛 已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(1)=\dfrac{10}{3}$，且对任意实数 $x,y$，恒有\[f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).\qquad \qquad \qquad \text{ ① }\]若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=3f(n)-f(n-1),n \in \mathbb N^*$． 2022-04-17 19:58:12
15359 598ac90491e0350007fda063 高中 解答题 自招竞赛 设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,S_n=2^n+r$（$r$ 为常数），记 $b_n=2(1+\log_2a_n)(n \in \mathbb N^*)$． 2022-04-17 19:57:12
15352 598c0c8ade229f0008daf606 高中 解答题 自招竞赛 （14分）设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且\[a_1 + a_2 = 4, \dfrac{2S_{n+1}+1}{2S_n + 1}=\dfrac{a_2}{a_1}=c(c>0, n \in \mathbb N^*).\] 2022-04-17 19:53:12
15347 59915f233949210009ac4cd5 高中 解答题 高中习题 设 $a_{1}=1$，$a_{2}=8$，$a_{n+1}=a_{n-1} + \dfrac{4}{n} a_{n}$，$n=2,3,\cdots$． 2022-04-17 19:49:12
15340 599299d077d145000f32c2e0 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 满足：$a_1=1,a_2=1,a_{n+1}=\dfrac {n^2a_n^2+5}{(n^2-1)a_{n-1}}(n\geqslant 2)$，求 $a_n$ 的通项公式． 2022-04-17 19:45:12
15335 5992aa601a9d9c0009ac44ac 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1,x_2,x_3,\cdots $ 是不同的正实数，证明：$x_1,x_2,x_3,\cdots $ 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数 $n(n\geqslant 2)$，都有$$\dfrac {x_1}{x_2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac {x_n^2}{x_kx_{k+1}}=\dfrac {x_n^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2}.$$ 2022-04-17 19:43:12
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