已知 $\sin x , \cos x , \tan x$ 是一个双向无穷等比数列中的三项，求证：$\cot x$ 也是其中的一项．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\sin x = a \cdot {q^{{n_1}}}$，$\cos x = a \cdot {q^{{n_2}}}$，$\tan x = a \cdot {q^{{n_3}}}$，其中 $a , q \ne 0$，${n_1} , {n_2} , {n_3} \in {\mathbb{Z}}$．
由 $\sin x = \cos x \cdot \tan x$，得$$a \cdot {q^{{n_1}}} = a \cdot {q^{{n_2}}} \cdot a \cdot {q^{{n_3}}},$$从而 $a = {q^{{n_1} - {n_2} - {n_3}}}$．于是$$\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}} = \dfrac{a}{{{q^{{n_1} - {n_2} - {n_3}}}}} \cdot \dfrac{1}{{{q^{{n_1} - {n_2}}}}} = a \cdot {q^{ - \left( {2{n_1} - 2{n_2} - {n_3}} \right)}}$$为等比数列中的其中一项．
由 $\sin x = \cos x \cdot \tan x$，得$$a \cdot {q^{{n_1}}} = a \cdot {q^{{n_2}}} \cdot a \cdot {q^{{n_3}}},$$从而 $a = {q^{{n_1} - {n_2} - {n_3}}}$．于是$$\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}} = \dfrac{a}{{{q^{{n_1} - {n_2} - {n_3}}}}} \cdot \dfrac{1}{{{q^{{n_1} - {n_2}}}}} = a \cdot {q^{ - \left( {2{n_1} - 2{n_2} - {n_3}} \right)}}$$为等比数列中的其中一项．
答案
解析
备注
