设 $x\in\mathbb N$ 满足 $\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{2013}<\dfrac{2014}{2013}$．数列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 是公差为 $x^{2013}$，首项 $a_{1}=(x+1)^{2}x^{2012}-1$ 的等差数列；数列 $b_{1},b_{2},\cdots,b_{2013}$ 是公比为 $\dfrac{1+x}{x}$，首项 $b_{1}=(x+1)x^{2013}$ 的等比数列，求证：$b_{1}<a_{1}<b_{2}<\cdots<a_{2012}<b_{2013}$．
【难度】
【出处】
2013年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先，$a_{i}=(x+1)^{2}x^{2012}-1+( i-1)x^{2013}$，$b_{i}=(x+1)x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{i-1}=(x+1)^{i}x^{2014-i}$．$b_{i+1}-b_{i}=x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{i}$．用数学归纳法证明 $a_{i}-b_{i}\geqslant x^{2013}\dfrac{2014-i}{2013}$，$1\leqslant i\leqslant 2013$．
由于 $a_{1}-b_{1}=x^{2013}+x^{2012}-1\geqslant x^{2013}$，即 $i=1$ 成立．假设 $1\leqslant i\leqslant 2012$ 成立，则\[\begin{split}a_{i+1}-b_{i+1}&=(a_{i+1}-a_{i})-(b_{i+1}-b_{i})+(a_{i}-b_{i})\\&=x^{2013}-x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{i}+(a_{i}-b_{i})\\&\geqslant x^{2013}-x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{2013}+(a_{i}-b_{i})\\&\geqslant -x^{2013}\dfrac{1}{2013}+(a_{i}-b_{i})\\&\geqslant -x^{2013}\dfrac{1}{2013}+x^{2013}\dfrac{2013-i+1}{2013}\\&=x^{2013}\dfrac{2014-(i+1)}{2013}.\end{split}\]所以，$a_{i}>b_{i}$，$i=1,2,3,\cdots,2013$．
归纳法证明 $b_{i+1}>a_{i}$，$i=1,2,\cdots,2012$．首先 $b_{2}-a_{1}=1>0$，假设 $1\leqslant i\leqslant 2011$ 时成立，则\[\begin{split}b_{i+2}-a_{i+1}&=(b_{i+2}-b_{i+1})-(a_{i+1}-a_{i})+(b_{i+1}-a_{i})\\&=x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{i+1}-x^{2013}+(b_{i+1}-a_{i})>0.\end{split}\]故原命题成立．
由于 $a_{1}-b_{1}=x^{2013}+x^{2012}-1\geqslant x^{2013}$，即 $i=1$ 成立．假设 $1\leqslant i\leqslant 2012$ 成立，则\[\begin{split}a_{i+1}-b_{i+1}&=(a_{i+1}-a_{i})-(b_{i+1}-b_{i})+(a_{i}-b_{i})\\&=x^{2013}-x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{i}+(a_{i}-b_{i})\\&\geqslant x^{2013}-x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{2013}+(a_{i}-b_{i})\\&\geqslant -x^{2013}\dfrac{1}{2013}+(a_{i}-b_{i})\\&\geqslant -x^{2013}\dfrac{1}{2013}+x^{2013}\dfrac{2013-i+1}{2013}\\&=x^{2013}\dfrac{2014-(i+1)}{2013}.\end{split}\]所以，$a_{i}>b_{i}$，$i=1,2,3,\cdots,2013$．
归纳法证明 $b_{i+1}>a_{i}$，$i=1,2,\cdots,2012$．首先 $b_{2}-a_{1}=1>0$，假设 $1\leqslant i\leqslant 2011$ 时成立，则\[\begin{split}b_{i+2}-a_{i+1}&=(b_{i+2}-b_{i+1})-(a_{i+1}-a_{i})+(b_{i+1}-a_{i})\\&=x^{2013}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{i+1}-x^{2013}+(b_{i+1}-a_{i})>0.\end{split}\]故原命题成立．
答案
解析
备注
