给定正数数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $S_{n}\geqslant 2S_{n-1}$，$n=2,3,\cdots$，这里 $S_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}$．证明：存在常数 $C>0$，使得 $x_{n}\geqslant C\cdot 2^{n}$，$n=1,2,\cdots$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n\geqslant 2$ 时，$S_{n}\geqslant 2S_{n-1}$ 等价于\[x_{n}\geqslant x_{1}+\cdots +x_{n-1}\cdots\cdots\text{ ① }\]对常数 $C=\dfrac{1}{4}x_{1}$，用数学归纳法证明：\[x_{n}\geqslant C\cdot 2^{n},n=1,2,\cdots,\cdots\cdots\text{ ② }\]$n=1$ 时结论显然成立．又 $x_{2}\geqslant x_{1}=C\cdot 2^{2}$．
对 $n\geqslant 3$，假设 $x_{k}\geqslant C\cdot 2^{k}$，$k=1,2,\cdots,n-1$．则由 ① 式知\[\begin{split}x_{n}&\geqslant x_{1}+(x_{2}+\cdots+x_{n-1})\\&\geqslant x_{1}+(C\cdot 2^{2}+\cdots +C\cdot 2^{n-1})\\&=C(2^{2}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n-1})\\&=C\cdot 2^{n},\end{split}\]所以，由数学归纳法知，② 式成立．
对 $n\geqslant 3$，假设 $x_{k}\geqslant C\cdot 2^{k}$，$k=1,2,\cdots,n-1$．则由 ① 式知\[\begin{split}x_{n}&\geqslant x_{1}+(x_{2}+\cdots+x_{n-1})\\&\geqslant x_{1}+(C\cdot 2^{2}+\cdots +C\cdot 2^{n-1})\\&=C(2^{2}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n-1})\\&=C\cdot 2^{n},\end{split}\]所以，由数学归纳法知，② 式成立．
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