设 $a_{1}=1$，$a_{2}=8$，$a_{n+1}=a_{n-1} + \dfrac{4}{n} a_{n}$，$n=2,3,\cdots$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
证明：存在常数 $C>0$，使得对任意正整数 $n$，有 $a_{n}\leqslant Cn^2$．标注答案略解析记 $b_{n} = \dfrac{a_{n}}{n^2}$，则 $b_{1}=1$，$b_{2}=2$，$(n+1)^2 b_{n+1}=(n-1)^2 b_{n-1}+4nb_{n},n=2,3,\cdots,$ 故$$ b_{n+1} = \dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2} b_{n-1} + \dfrac{4n}{(n+1)^2} b_{n},n=2,3,\cdots. $$下面用数学归纳法证明对任意正整数 $n$，$b_{n} \leqslant 2$．
当 $n=1$ 和 $n=2$ 时，$b_{n} \leqslant 2$ 成立．设 $b_{k} \leqslant 2,k = 1,2,\cdots,n$ 则\[\begin{split} b_{n+1} &= \dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2} b_{n-1} + \dfrac{4n}{(n+1)^2} b_{n} \\ & \leqslant \dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2} \cdot 2 + \dfrac{4n}{(n+1)^2} \cdot 2\\ &=2 . \end{split}\]因此由数学归纳法知对任意正整数 $n$，有 $b_{n} \leqslant 2.$ 于是取 $C=2$，对任意正整数 $n$，有 $a_{n} \leqslant Cn^2.$ -
证明：对任意正整数 $n$，有 $a_{n+1} - a_{n} \leqslant 4n +3$．标注答案略解析由 $(n+1)^2 b_{n+1}=(n-1)^2 b_{n-1}+4nb_{n},n=2,3,\cdots$ 得$$ (n+1)^2 (b_{n+1} - b_{n}) = - (n-1)^2 (b_{n} - b_{n-1}),n=2,3,\cdots.$$记 $c_{n} = b_{n+1} - b_{n},n=1,2,\cdots,$ 则 $c_{1} = 1$，$$\dfrac{c_{n}}{c_{n-1}} = \dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2},n=2,3,\cdots.$$于是对任意正整数 $n$，有\[\begin{split} c_{n} &= \dfrac{c_{n}}{c_{1}} = \dfrac{c_{n}}{c_{n-1}} \cdot \dfrac{c_{n-1}}{c_{n-2}} \cdots \dfrac{c_{2}}{c_{1}} \\&= \left [-\dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2} \right ] \cdot \left [-\dfrac{(n-2)^2}{n^2} \right] \cdots \left [-\dfrac{1^2}{3^2} \right ] \\ &= (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{4}{n^2(n+1)^2}. \end{split}\]因此当 $n>1$ 时，有\[\begin{split} a_{n+1} - a_{n}&= (n+1)^2 b_{n+1} - n^2 b_{n} \\ &=(n+1)^2 c_{n} +[(n+1)^2 -n^2]b_{n} \\&=(-1)^{n-1} \cdot \dfrac{4}{n^2} +(2n+1)b_{n}\\ & \leqslant 1+ (2n+1) \cdot 2 \\&=4n +3, \end{split}\]又当 $n=1$ 时，$a_{2} - a_{1} =7=4n+3$，故对任意正整数 $n$，有 $a_{n+1} - a_{n} \leqslant 4n +3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
