题目 记原点为点 ${P_1}\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，由点 ${P_1}$ 向三次函数 $y = {x^3} -3a{x^2} + bx$（$a\neq 0$）的图象（记为曲线 $C$）引切线，切于不同于点 ${P_1}$ 的点 ${P_2}\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$，再由点 ${P_2}$ 引此曲线 $C$ 的切线，切于不同于点 ${P_2}$ 的点 ${P_3}\left( {{x_3} , {y_3}} \right)$．如此继续作下去，得到点列 $\left\{ {{P_n}\left( {{x_n} , {y_n}} \right)} \right\}$．试回答下列问题： 问题1 求数列 $\{x_n\}$ 的递推公式与初始值； 答案1 数列 $\{x_n\}$ 的递推公式为$$x_n=\dfrac{x_{n-1}+x_{n-2}}2,n\geqslant 3\land n\in\mathbb N^*,$$初始值 $x_1=0$，$x_2=\dfrac 32a$ 解析1 根据已知，联立 $P_1$ 出发的切线方程与曲线 $C$ 的方程，得$$(x-x_1)(x-x_2)^2=0,$$又 $x_1=0$，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得 $x_2=\dfrac 32a$．进而由三次函数的切割线性质推论1，可得$$\forall n\geqslant 3\land n\in\mathbb N^*,2x_n=x_{n-1}+x_{n-2}.$$于是数列 $\{x_n\}$ 的递推公式为$$x_n=\dfrac{x_{n-1}+x_{n-2}}2,n\geqslant 3\land n\in\mathbb N^*,$$初始值 $x_1=0$，$x_2=\dfrac 32a$． 备注1 问题2 求 $\lim\limits_{n \to+ \infty } {x_n}$，并指出点列 $\{P_n\}$ 的极限位置在何处？ 答案2 $(a,-2a^3+ab)$ 解析2 由数列的递推公式不难得到通项$$x_n=a\cdot\left[1-\left(-\dfrac 12\right)^{n-1}\right],n\in\mathbb N^*,$$于是$$\lim_{n\to +\infty}x_n=a.$$因此点列 $\{P_n\}$ 的极限位置为 $(a,-2a^3+ab)$，也就是三次函数的对称中心． 备注2