已知 $f(x)=\dfrac{ax+1}{3x-1}$，方程 $f(x)=-4x+8$ 有两个不同的正根，且一根是另一根的 $3$ 倍．等差数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$ 与 $T_n$，且 $\dfrac{S_n}{T_n}=f(n)$（$n=1,2,3,\cdots$）．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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设 $g(n)=\dfrac{a_n}{b_n}$（$n=1,2,3,\cdots $），求 $g(n)$ 的最大值；标注答案$\dfrac{5}{2}$解析由 $f(x)=-4x+8$ 得，$$\dfrac{ax+1}{3x-1}=-4x+8,$$整理得$$12x^2-(28-a)x+9=0.$$设 $x_1,x_2$ 是上述方程的两个根，且 $x_2=3x_1$，则\[\begin{split}&x_1+x_2=4x_1=\dfrac{28-a}{12},\\ & x_1x_2=3x_1^2 =\dfrac{9}{12}.\end{split}\]又 $x_1,x_2>0$，所以 $x_1=\dfrac 12 $，$a=4$，$f(x)=\dfrac{4x+1}{3x-1}$．
因为$$\dfrac{S_n}{T_n}=f(n)=\dfrac{4n+1}{3n-1},$$所以\[\begin{split}g(n)&=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}\\&=\dfrac{4(2n-1)+1}{3(2n-1)-1}\\&=\dfrac{8n-3}{6n-4}\\&=\dfrac 43 +\dfrac{7}{3(6n-4)}.\end{split}\]因此 $n=1$ 时，$g(n)$ 取得最大值 $\dfrac 52$． -
若 $a_1=\dfrac 52$，数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $3$，探究在数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 中是否存在相等的项．若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列 $\{c_n\}$ 的通项公式；若没有，请说明理由．标注答案不存在解析由 $(1)$ 知，$\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac 52$，结合 $a_1=\dfrac 52$，知 $b_1=1$．
又数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $3$，所以$$b_n=1+3(n-1)=3n-2.$$又由 $g(n)=\dfrac{8n-3}{6n-4}$ 得$$a_n=\dfrac 52+4(n-1)=\dfrac{8n-3}{2}.$$若在数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 中存在相等的项，设 $a_m=b_k$（$m,k$ 为正整数），则$$\dfrac{8m-3}{2}=3k-2,$$整理得$$6k-8m=1.$$由于 $6k-8m$ 为偶数，而 $1$ 为奇数，故上述方程无正整数解．
因此，在数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 中不存在相等的项．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
