已知 $1<a_{i}<\sqrt 7,i=1,2,\cdots,n$，其中正整数 $n\geqslant 2$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
-
求证：对于一切的正整数 $i$，都有 $\dfrac{1}{a_{i}^{2}-1}+\dfrac{1}{7-a_{i}^{2}}\geqslant \dfrac{2}{3}$；标注答案略解析对于一切的正整数 $i$，\[\begin{split}\dfrac{1}{a_{i}^{2}-1}+\dfrac{1}{7-a_{i}^{2}}&=\dfrac{6}{(a_{i}^{2}-1)(7-a_{i}^{2})}\\&\geqslant \dfrac{6}{\left(\dfrac{a_{i}^{2}-1+7-a_{i}^{2}}{2}\right)^{2}}\\&=\dfrac{2}{3},\end{split}\]当且仅当 $a_{i}=2$ 时等号成立．
-
求 $\displaystyle S=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{(a_{i}^{2}-1)(7-a_{i+1}^{2})}}$ 的最小值，其中约定 $a_{n+1}=a_{1}$．标注答案$\dfrac{n}{3}$解析由均值不等式知\[\begin{split}S&=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{(a_{i}^{2}-1)(7-a_{i+1}^{2})}}\\&\geqslant \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{n^{2}}{\sqrt{(a_{i}^{2}-1)(7-a_{i+1}^{2})}}\\&\geqslant \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{n^{2}}{\dfrac{(a_{i}^{2}-1)+(7-a_{i+1}^{2})}{2}}\\&=\dfrac{n^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{a_{i}^{2}-a_{i+1}^{2}}{2}+3\right)}\\&=\dfrac{n}{3},\end{split}\]当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=2$ 时等号成立，所以 $S$ 有最小值 $\dfrac{n}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
