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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15717 590a91d56cddca000a0818ac 高中 解答题 自招竞赛 求所有函数 $f:\mathbb N^*\to\mathbb N^*$，使得对任意正整数 $x\neq y$，$0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|$． 2022-04-17 19:18:16
15664 590feac3857b42000aca38fb 高中 解答题 自招竞赛 是否存在函数 $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$，使得 $f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2$ 对于任意整数 $n$ 均成立？ 2022-04-17 19:49:15
15602 5912b6b9e020e7000878f9e1 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $\left|f(x)\right|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零．（可用以下结论：若 $\lim\limits_{x\to \infty}{g(x)}=0$，$\left|f(x)\right|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=0$．） 2022-04-17 19:10:15
15569 595745d6d3b4f900086c44f6 高中 解答题 自招竞赛 己知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left({x+y}\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)$，又 $f'\left(0\right)=1$，求函数 $f\left(x\right)$ 的解析式． 2022-04-17 19:50:14
15450 59706671dbbeff0009d29ef1 高中 解答题 自招竞赛 $f(x)$ 的反函数是 $y=\dfrac x{1+x}$，$g_n(x)+\dfrac 1{f_n(x)}=0$，设 $f_1(x)=f(x)$，且对于 $n>1$，$n\in \mathbb N^*$，有 $f_n(x)=f_{n-1}[f_{n-1}(x)]$．求 $g_n(x)$（$n\in \mathbb N^*$）的解析表达式． 2022-04-17 19:47:13
15343 59916985d2d7460007299373 高中 解答题 自招竞赛 求证：不存在这样的函数 $f:\mathbb{Z} \to \{1,2,3\} $，满足对任意的整数 $x,y$，若 $\lvert x - y \rvert \in \{2,3,5\}$，则 $f(x) \ne f(y)$． 2022-04-17 19:47:12
15283 5a4b57f534d6f90007a58544 高中 解答题 自招竞赛 对任意实数 $x,y$，$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1$，若 $f(-2)=-2$，求所有满足 $f(a)=a$ 的整数 $a$． 2022-04-17 19:17:12
15170 5ca56aa0210b281080bfd98f 高中 解答题 自招竞赛 设 $a>0$，函数 $f\text{:}\left( 0\text{,}+\infty \right)\to \mathbb{R}$ 满足 $f\left( a \right)\text{=}1$ 。如果对任意正实数 $x\text{,}y$，有 $f\left( x \right)f\left( y \right)+f\left( \frac{a}{x} \right)f\left( \frac{a}{y} \right)\text{=}2f\left( xy \right)$，求证：$f\left( x \right)$ 为常数。 2022-04-17 19:14:11
15144 5cb59044210b280220ed1eb2 高中 解答题 自招竞赛 若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ 且满足条件：① 存在实数 $a\in(1,+\infty)$，使得 $f(a)=1$；② 当 $m\in\mathbf R$ 且 $x\in(0,+\infty)$ 时，有 $f(x^{m})-mf(x)=0$ 恒成立． 2022-04-17 19:59:10
15109 5d070ac0210b280220ed4654 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a$，设实多项式序列 $|f_n(x) |$ 满足 $\begin{cases}
f_0(x)=1\\
f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax),n=0,1,2,\cdots\\
\end{cases}$
（1）求证：$f_n(x)=x^nf_n(\dfrac{1}{x}),n=0,1,2,\cdots$
（2）求 $f_n(x)$ 的明显表达式．		 2022-04-17 19:39:10
15090 5d1b1d6e210b28021fc77cff 高中 解答题 自招竞赛 证明存在唯一的函数 $f : Z_{+} \rightarrow Z_{+}$ 满足 $f(1)=f(2)=1,f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))(n \geqslant 3)$ ①
并对每个整数 $m\geqslant 2$，求 $f(2^m)$ 的值．		 2022-04-17 19:31:10
15084 5d2c602f210b28021fc78671 高中 解答题 自招竞赛 求所有函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，使得 $f(0)\neq 0$，且对于所有实数 $x,y$，均有\begin{equation}
f^{2}(x+y)=2 f(x) f(y)+\max \left\{f\left(x^{2}\right)+f\left(y^{2}\right), f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}
\end{equation}		 2022-04-17 19:28:10
15025 5ffc0657210b28031bc925fe 高中 解答题 自招竞赛 求所有满射的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使得对于任意实数 $x,y$，均有$$f(xf(y)+y^2)=f((x+y)^2)-xf(x).$$ 2022-04-17 19:53:09
15014 6007a85e887486000a487923 高中 解答题 自招竞赛 对怎样的实数 $a$，存在函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（a）$f(0)=f(\frac{\pi}{4})=1$；
（b）当 $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}$ 时，$|f(x)|\leqslant 2$；
（c）对于任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，都有 $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)\cos 2x_2+4a\sin^2x_2$？
试求出 $a$ 的取值范围并给出相应的函数 $f(x)$ 的表达式．		 2022-04-17 19:48:09
11659 59128954e020e7000878f908 高中 填空题 自招竞赛 已知函数 $f\left( x \right)$ 满足：$f\left( {p + q} \right) = f\left( p \right)f\left( q \right)$，$f\left( 1 \right) = 3$，则
$\dfrac{{{f^2}\left( 1 \right) + f\left( 2 \right)}}{{f\left( 1 \right)}} + \dfrac{{{f^2}\left( 2 \right) + f\left( 4 \right)}}{{f\left( 3 \right)}} + \dfrac{{{f^2}\left( 3 \right) + f\left( 6 \right)}}{{f\left( 5 \right)}} + \dfrac{{{f^2}\left( 4 \right) + f\left( 8 \right)}}{{f\left( 7 \right)}} =$  ．		 2022-04-16 22:03:33
11581 59799b060a41cd000ac58d7a 高中 填空题 自招竞赛 函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$ 对一切 $x,y,z \in \mathbb R$ 满足不等式$$f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)\geqslant 3f(x+2y+z),$$则 $f(1)-f(0)=$  ． 2022-04-16 22:23:32
11511 59f4bd5dae6f3a0008e3e6d7 高中 填空题 高中习题 已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)+2y\geqslant f\left(x^2+3y\right)$，且 $f(100)=100$，则 $f(200)=$  ． 2022-04-16 22:46:31
11466 5cbeec69210b280220ed2410 高中 填空题 自招竞赛 已知函数 $f(x)$ 满足：对任意实数 $x,y$ 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy$ 成立，且 $f(-1)\cdot f(1)\geqslant 9$，$f
(\dfrac{2}{3})=\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$  ．		 2022-04-16 22:21:31
11407 5d09fcee210b28021fc77455 高中 填空题 自招竞赛 已知定义在 $\left( 0,+\infty \right)$ 上的函数 $f\left( x \right)$ 是单射，对任意 $x>0$，$xf\left( x \right)>1$，$f\left( xf\left( x \right)-1 \right)=2$，则 $f\left( 2 \right)=$  ． 2022-04-16 22:46:30
778 59095480060a05000b3d1fef 高中 选择题 自招竞赛 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，且对任意实数 $x$ 均有 $2f(x)+f\left(x^2-1\right)=1$，则 $f\left(-\sqrt{2}\right)$ 等于 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:22:00
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