求所有满射的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使得对于任意实数 $x,y$，均有$$f(xf(y)+y^2)=f((x+y)^2)-xf(x).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于所有的 $x\in \mathbb{R}$，$f(x)= 2x$ 是原方程的唯一解．假设存在一个实数 $c\neq 0$，使得对于某个实数 $z$，有 $c=f(z)-2z$．记原方程为 $P(x,y)=0$．由 $P(f(y)-2y,y)=0$，知对于任意实数 $y$，均有$$(f(y)-2y)f(f(y)-2y)=0$$这表明，$f(c)=0$．因为 $-2c=f(c)-2c\neq 0$，所以，$f(-2c)=0$．由 $P(x,c)=0$ 得$$f(c^2)=f((x+c)^2)-xf(x)$$由 $P(x,-2c)=0$ 得$$f(4c^2)=f((x -2c)^2)-xf(x)$$由 $P(c,c)=0$ 得$$f(c^2)=f(4c^2)$$故\begin{equation}\label{2018.TurkeyTST.2.1}f((x+c)^2)=f((x-2c)^2)\end{equation}由 $P(x-2c,c)=0$ 得$$f(c^2)=f((x-c)^2)-(x-2c)f(x-2c)$$由 $P(x+c,-2c)=0$ 得$$f(4c^2)=f((x-c)^2)-(x+c)f(x+c)$$则\begin{equation}\label{2018.TurkeyTST.2.2}(x-2c)f(x-2c)=(x+c)f(x+c).\end{equation}对于任意的实数 $x,y$，由 $P(x+c,y)=0$，得知，$$f(xf(y)+y^2+cf(y))=f((x+y+c)^2)-(x+c)f(x+c)$$由 $P(x-2c,y)=0$ 得$$f(xf(y)+y^2-2cf(y))=f((x+y-2c)^2)-(x-2c)f(x-2c)$$由式（\ref{2018．TurkeyTST．2．1}），（\ref{2018．TurkeyTST．2．2}）得$$f(xf(y)+y^2+cf(y))=f(xf(y)+y^2-2cf(y)).$$由于 $f$ 为满射，故对于任意两个不等的实数 $u,v$，均存在正实数 $y,x$，使得$$f(y)=\frac{u-v}{3c}\neq 0,~~x=\frac{u-y^2-cf(y)}{f(y)}.$$这表明，对于任意实数 $u,v$（$u\neq v$），均有 $f(u)=f(v)$．从而，$f$ 为常值函数．这与 $f$ 为满射矛盾．于是，这样的 $c$ 不存在．因此，对于任意的 $x\in \mathbb{R}$，均有 $f(x)=2x$，且满足$$f(xf(y)+y^2)=4xy+2y^2=2(x+y)^2-2x^2=f((x+y)^2)-xf(x).$$
答案
解析
备注
