是否存在函数 $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$，使得 $f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2$ 对于任意整数 $n$ 均成立？
【难度】
【出处】
2011年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
【答案】
不存在
【解析】
分别令 $n=1,3$ 可得$$\begin{cases} f(3)=f^2(1)+2,\\ f(1)=f^2(3)+2,\end{cases}$$两式相减可得$$f(3)-f(1)=[f(1)-f(3)]\cdot [f(1)+f(3)],$$因此$$f(1)=f(3)\lor f(1)+f(3)=-1.$$事实上，$f(1),f(3)\geqslant 2$，因此$$f(1)+f(3)\neq -1.$$另一方面，方程$$f(1)=f^2(1)+2$$无解，因此$$f(1)\neq f(3).$$综上所述，不存在符合题意的函数 $f(x)$．
答案
解析
备注
