已知函数 $f(x)$ 满足：对任意实数 $x,y$ 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy$ 成立，且 $f(-1)\cdot f(1)\geqslant 9$，$f
(\dfrac{2}{3})=\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$ ．
(\dfrac{2}{3})=\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
在 $f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy$ 中，令 $x=y=0$，得 $f(0)=f(0)+f(0)+0,f(0)=0$．令 $x=-1,y=1$，得 $f(0)=f(1)+f(-1)+(-6),f(1)+f(-1)=6$．又 $f(-1)\cdot f(1)\geqslant 9$，所以 $[6-f(1)]\cdot f(1)\geqslant 9$，即 $[f(1)]^2-6f(1)+9\leqslant 0,[f(1)-3]^2\leqslant 0,f(1)=3$．又 $f\left( \dfrac{2}{3} \right)=f\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=f\left( \dfrac{1}{3} \right)+f\left( \dfrac{1}{3} \right)+6\cdot \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=2f\left( \dfrac{1}{3} \right)+\dfrac{2}{3},f\left( 1\right)=f\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3} \right)=f\left( \dfrac{1}{3}\right)+f\left( \dfrac{2}{3} \right)+6\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}$
，所以 $f(1)=f(\dfrac{1}{3})+2f(\dfrac{1}{3})+\dfrac{2}{3}+6\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=3f(\dfrac{1}{3})+2=3.$ 故 $f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3},f(\dfrac{2}{3})=2f(\dfrac{1}{3})+\dfrac{2}{3}=2\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}.$
，所以 $f(1)=f(\dfrac{1}{3})+2f(\dfrac{1}{3})+\dfrac{2}{3}+6\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=3f(\dfrac{1}{3})+2=3.$ 故 $f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3},f(\dfrac{2}{3})=2f(\dfrac{1}{3})+\dfrac{2}{3}=2\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}.$
题目
答案
解析
备注
