设 $a>0$，函数 $f\text{:}\left( 0\text{,}+\infty \right)\to \mathbb{R}$ 满足 $f\left( a \right)\text{=}1$ 。如果对任意正实数 $x\text{,}y$，有 $f\left( x \right)f\left( y \right)+f\left( \frac{a}{x} \right)f\left( \frac{a}{y} \right)\text{=}2f\left( xy \right)$，求证：$f\left( x \right)$ 为常数。
【难度】
【出处】
2006第5届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将 $x\text{=}y\text{=}1$ 代入条件式，得 ${{f}^{2}}\left(1 \right)+{{f}^{2}}\left( a \right)\text{=}2f\left( 1 \right)$，${{\left(f\left( 1 \right)-1 \right)}^{2}}\text{=}0$，则 $f\left( 1 \right)\text{=}1$ 。 将 $y\text{=}1$ 代入条件式，得 $f\left(x \right)f\left( 1 \right)+f\left( \frac{a}{x} \right)f\left( a\right)\text{=}2f\left( x \right)$，$f\left( x \right)\text{=}f\left(\frac{a}{x} \right)\left( x\text{}0 \right)$（2）将 $y\text{=}\frac{a}{x}$ 代入条件式，得 $f\left(x \right)f\left( \frac{a}{x} \right)+f\left( \frac{a}{x} \right)f\left( x\right)\text{=}2f\left( a \right)$，$f\left( x \right)f\left( \frac{a}{x}\right)\text{=}1$ 。（3）由（2）（3）得 ${{f}^{2}}\left( x \right)\text{=}1\left( x>0\right)$ 。 将 $x\text{=}y\text{=}\sqrt{t}$ 代入条件式，得 ${{f}^{2}}\left( \sqrt{t} \right)+{{f}^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{t}} \right)\text{=}2f\left( t \right)$ 。 所以 $f\left( t \right)\text{}0$，故 $f\left( x \right)\text{=}1\left( x>0 \right)$
答案
解析
备注
