求所有函数 $f:\mathbb N^*\to\mathbb N^*$，使得对任意正整数 $x\neq y$，$0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|$．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$f(n)=f(1)+n-1$，其中 $f(1)\in\mathbb N^*$
【解析】
根据题意，取 $y=x+1$，则有对任意 $x\in\mathbb N^*$，均有$$0<|f(x+1)-f(x)|<2,$$即$$|f(x+1)-f(x)|=1.$$考虑到对任意正整数 $x\neq y$，$|f(x)-f(y)|>0$，因此 $f$ 为单射．这就意味着 $f(x+1)-f(x)\equiv 1$ 或 $f(x+1)-f(x)\equiv -1$（否则必然出现不同的自变量映射到同一个正整数）．考虑到象的集合为 $\mathbb N^*$，因此 $f(x+1)-f(x)\equiv 1$，进而可得 $f(n)=f(1)+n-1$，其中 $f(1)\in\mathbb N^*$．
答案
解析
备注
