函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$ 对一切 $x,y,z \in \mathbb R$ 满足不等式$$f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)\geqslant 3f(x+2y+z),$$则 $f(1)-f(0)=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
令 $x=-y=z$，得$$f(0)+f(0)+f(2x) \geqslant 3f(0),$$即 $f(2x) \geqslant f(0)$．
令 $x=y=-z$，得$$f(2x)+f(0)+f(0) \geqslant 3f(2x),$$即 $f(0) \geqslant f(2x)$．
由此得$$f(0) \geqslant f(2x) \geqslant f(0),$$从而 $f(x)=f(0)\equiv c$（常数）．
令 $x=y=-z$，得$$f(2x)+f(0)+f(0) \geqslant 3f(2x),$$即 $f(0) \geqslant f(2x)$．
由此得$$f(0) \geqslant f(2x) \geqslant f(0),$$从而 $f(x)=f(0)\equiv c$（常数）．
题目
答案
解析
备注
