重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15304 59bbd59b8b403a0008ec5f76 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$5+\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$． 2022-04-17 19:27:12
15303 59c0d4c0f14e16000838933e 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 为三角形 $ABC$ 的费马点，记 $PA$，$PB$，$PC$ 的长为 $x$，$y$，$z$，三角形的边长为 $a$，$b$，$c$．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\] 2022-04-17 19:27:12
15301 59cb0624778d470007d0f4d8 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha\geqslant\beta\geqslant\gamma\geqslant\dfrac{\pi}{12}$，且 $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$，求 $\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$ 的最大值． 2022-04-17 19:26:12
15299 59f14bd69552360008e02e5d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $0<x<1$，求函数 $f(x)=\left(1+x^2\right)(2-x)$ 的最小值； 2022-04-17 19:25:12
15295 5a039acfe1d4630009e6d287 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1\geqslant x_2\geqslant x_3\geqslant x_4\geqslant 2$，且 $x_2+x_3+x_4\geqslant x_1$，求证：$(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\leqslant 4x_1x_2x_3x_4$． 2022-04-17 19:23:12
15252 5c6a5359210b281dbaa933fc 高中 解答题 自招竞赛 求最大的正整数 $n$，使不等式 $\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$ 对唯一的一个整数 $k$ 成立． 2022-04-17 19:01:12
15244 5c6babee210b281db9f4c8c8 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，定义 ${{S}_{n}}$ 为和式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}+a_{k}^{2}}}$ 的最小值，其中 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{n}}$ 为正实数，它们的和为17．已知有唯一的正整数 $n$，使 ${{S}_{n}}$ 也为整数，求 $n$． 2022-04-17 19:57:11
15185 5c9dabeb210b280b2397eb90 高中 解答题 自招竞赛 已知锐角 $x,y,z$ 满足 $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z=1$，求 $x+y+z$ 的取值范围． 2022-04-17 19:24:11
15183 5ca41473210b281080bfd868 高中 解答题 自招竞赛 试求出所有的正整数 $k$，使得对任意满足不等式 $k\left( ab+bc+ca \right)>5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ 的正数 $a\text{,}b\text{,c}$，一定存在三边长为 $a\text{,}b\text{,}c$ 的三角形。 2022-04-17 19:23:11
15179 5ca423cd210b28107f52aa69 高中 解答题 自招竞赛 设 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正实数，求 $\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$ 的最小值 2022-04-17 19:21:11
15177 5ca423dd210b28107f52aa74 高中 解答题 自招竞赛 设 $u\text{,}v\text{,}w$ 为正实数，满足条件 $u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\geqslant 1$ 。试求 $u+v+w$ 的最小值。 2022-04-17 19:20:11
15173 5ca4282f210b281080bfd927 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $x\text{,}y$ 满足 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}\text{=}x-y$ 。求证：${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}<1$ 。 2022-04-17 19:16:11
15165 5ca56b19210b281080bfd9a1 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{x}_{i}}>0\left( i\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right)$，$k\geqslant 1$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{\frac{1}{1+{{x}_{i}}}}\cdot \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{{{x}_{i}}}\leqslant \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{\frac{x_{i}^{k+1}}{1+{{x}_{i}}}}\cdot \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{\frac{1}{x_{i}^{k}}}$ 2022-04-17 19:11:11
15157 5cac274c210b2866bc014647 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $x\text{,}y\text{,}z$ 大于或等于 $1$ 。求证：$\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)\left( {{y}^{2}}-2y+2 \right)\left( {{z}^{2}}-2z+2 \right)\leqslant {{\left( xyz \right)}^{2}}-2xyz+2$ 2022-04-17 19:07:11
15156 5cac35cb210b281942e4f4fc 高中 解答题 自招竞赛 设正数 $a$、$b$、$c$、$d$ 满足 $abcd=1$ 。证明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{9}{a+b+c+d}\geqslant \frac{25}{4}$ 。 2022-04-17 19:07:11
15152 5caed9ee210b280220ed1c55 高中 解答题 自招竞赛 设 $a\in(0,1)$，且
$\begin{align}
& f(x)=a{{x}^{3}}+(1-4a){{x}^{2}}+(5a-1)x+(3-5a),\\
&g(x)=(1-a){{x}^{3}}-{{x}^{2}}+(2-a)x-(3a+1).
\end{align}$
求证：对于任意实数 $x$，$\left| f(x) \right|$ 和 $\left| g(x) \right|$ 中都至少有一个不小于 $1+a$．		 2022-04-17 19:04:11
15145 5cb57ec0210b280220ed1e8b 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha,\beta\in(0,\dfrac{\pi}{2})$，证明：$\cos\alpha+\cos\beta+\sqrt{2}\sin\alpha\sin\beta\leqslant \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$． 2022-04-17 19:00:11
15140 5cb8523f210b28021fc75875 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，求 $M=a^2bc+ab^2c+abc^2$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:57:10
15137 5cbd2646210b280220ed2280 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y,z\geqslant 0$．且至多有一个为 $0$，求的 $f(x,y,z)=\sqrt{\dfrac{x^2+256yz}{y^2+z^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2+256xz}{z^2+x^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2+256xy}{x^2+y^2}}$ 最小值． 2022-04-17 19:56:10
15136 5cbd8ae2210b280220ed2344 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=\lambda(\lambda>0)$，试求 $f=\min\{ (a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}$ 的最大值． 2022-04-17 19:55:10
0.308381s