设 $\alpha\geqslant\beta\geqslant\gamma\geqslant\dfrac{\pi}{12}$，且 $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$，求 $\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt6+\sqrt2-1}{8}$
【解析】
由题可设 $\alpha=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\gamma}{2}+x$，$\beta=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\gamma}{2}-x$，其中 $x>0$，则\[\begin{split}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma&=\left[\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\gamma}{2}\right)-\sin^2x\right]\cdot\cos\gamma\\&\leqslant\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\gamma}{2}\right)\cdot\cos\gamma\\&\leqslant\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{24}\right)\cdot\cos\dfrac{\pi}{12}\\&=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2-1}{8}.\end{split}\]当且仅当 $x=0,\gamma=\dfrac{\pi}{12}$，即 $\alpha=\beta=\dfrac{5\pi}{24},\gamma=\dfrac{\pi}{12}$ 时，等号成立，因此，最大值为 $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2-1}{8}$．
答案
解析
备注
