设 $x_1\geqslant x_2\geqslant x_3\geqslant x_4\geqslant 2$，且 $x_2+x_3+x_4\geqslant x_1$，求证：$(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\leqslant 4x_1x_2x_3x_4$．
【难度】
【出处】
2013年清华大学数学夏令营试题（回忆版）
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设$$\begin{cases} b=x_2+x_3+x_4,\\
c=x_2x_3x_4, \end{cases}$$即证：$$(x_1+b)^2\leqslant 4cx_1,$$即$$x_1^2+2(b-2c)x_1+b^2\leqslant 0,$$记$$f(x)=x^2+2(b-2c)x+b^2.$$因为$$\dfrac bc=\dfrac 1{x_3x_4}+\dfrac1{x_2x_4}+\dfrac1{x_2x_3}\leqslant \dfrac34<1,$$所以 $c>b,c\geqslant \dfrac43b$．对称轴 $x=2c-b>b$，且$$b\geqslant x_1\geqslant \dfrac{x_2+x_3+x_4}{3}=\dfrac b3,$$所以$$f(x_1)\leqslant f\left(\dfrac{b}{3}\right)=\dfrac{16}9b^2-\dfrac43bc\leqslant\dfrac{16}9b^2-\dfrac43b\cdot\dfrac43b=0.$$因此$$(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\leqslant 4x_1x_2x_3x_4.$$
c=x_2x_3x_4, \end{cases}$$即证：$$(x_1+b)^2\leqslant 4cx_1,$$即$$x_1^2+2(b-2c)x_1+b^2\leqslant 0,$$记$$f(x)=x^2+2(b-2c)x+b^2.$$因为$$\dfrac bc=\dfrac 1{x_3x_4}+\dfrac1{x_2x_4}+\dfrac1{x_2x_3}\leqslant \dfrac34<1,$$所以 $c>b,c\geqslant \dfrac43b$．对称轴 $x=2c-b>b$，且$$b\geqslant x_1\geqslant \dfrac{x_2+x_3+x_4}{3}=\dfrac b3,$$所以$$f(x_1)\leqslant f\left(\dfrac{b}{3}\right)=\dfrac{16}9b^2-\dfrac43bc\leqslant\dfrac{16}9b^2-\dfrac43b\cdot\dfrac43b=0.$$因此$$(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\leqslant 4x_1x_2x_3x_4.$$
答案
解析
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