已知锐角 $x,y,z$ 满足 $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z=1$，求 $x+y+z$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[3\arccos\dfrac{1}{3},\pi)$
【解析】
（1）设 $x+y+z^\prime=\pi$，即 $x,y,z^\prime$ 为某个三角形的三个内角，根据三角形恒等式相关知识，容易得到 $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z^\prime+2\cos x\cos y\cos z^\prime=1$，进而得到 $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z^\prime<1$，得到 $\cos^2z^\prime<\cos^2z$，进而得到 $z^\prime>z$，故 $x+y+z<\pi$．
（2）由 $\cos^2x+\cos^2y<1$，容易得到 $x+y>\dfrac{\pi}{2}$，于是 $\cos(x+y)<0$，
$\cos^2x+\cos^2y=1+\cos(x+y)\cos(x-y)\geqslant 1+\cos(x+y)=2\cos^2\left(\dfrac{x+y}{2}\right)$，同理 $\cos^2y+\cos^2z\geqslant 2\cos^2\left(\dfrac{y+z}{2}\right)$ 和 $\cos^2z+\cos^2x\geqslant 2\cos^2\left(\dfrac{z+x}{2}\right)$，经过逐步微调可以得到 $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z\geqslant 3\cos^2\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)$
解得 $x+y+z\geqslant 3\arccos\dfrac{1}{3}$．
（2）由 $\cos^2x+\cos^2y<1$，容易得到 $x+y>\dfrac{\pi}{2}$，于是 $\cos(x+y)<0$，
$\cos^2x+\cos^2y=1+\cos(x+y)\cos(x-y)\geqslant 1+\cos(x+y)=2\cos^2\left(\dfrac{x+y}{2}\right)$，同理 $\cos^2y+\cos^2z\geqslant 2\cos^2\left(\dfrac{y+z}{2}\right)$ 和 $\cos^2z+\cos^2x\geqslant 2\cos^2\left(\dfrac{z+x}{2}\right)$，经过逐步微调可以得到 $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z\geqslant 3\cos^2\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)$
解得 $x+y+z\geqslant 3\arccos\dfrac{1}{3}$．
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