实数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{0} \neq 0,1, a_{1}=1-a_{0}, a_{n+1}=1- a_{n}\left(1-a_{n}\right),n=1,2,\cdots$．证明：对任意正整数 $n$，都有 $a_{0} a_{1} \cdots a_{n}\left(\dfrac{1}{a_{0}}+\dfrac{1}{a_{1}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}\right)=1$
【难度】
【出处】
2008年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件可知 $\begin{aligned} 1-a_{n+1} &=a_{n}\left(1-a_{n}\right)=a_{n} a_{n-1}\left(1-a_{n-1}\right)=\cdots =a_{n} \cdots a_{1}\left(1-a_{1}\right)=a_{n} \cdots a_{1} a_{0} \end{aligned}$
即 $a_{n+1}=1-a_{0} a_{1} \cdots a_{n}, n=1,2, \cdots$
下面用数学归纳法证明．
当 $n=1$ 时，命题显然成立．假设 $n=k$ 时，命题成立，则对 $n=k+1$ 的情形有
$\begin{aligned} & a_{0} a_{1} \cdots a_{k+1}\left(\frac{1}{a_{0}}+\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \\=& a_{0} a_{1} \cdots a_{k}\left(\frac{1}{a_{0}}+\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}\right) a_{k+1}+a_{0} a_{1} \cdots a_{k} \\=& a_{k+1}+a_{0} a_{1} \cdots a_{k} \\=& 1 \end{aligned}$
故命题对 $n=k+1$ 成立．
所以，对任意正整数 $n$，命题都成立．
即 $a_{n+1}=1-a_{0} a_{1} \cdots a_{n}, n=1,2, \cdots$
下面用数学归纳法证明．
当 $n=1$ 时，命题显然成立．假设 $n=k$ 时，命题成立，则对 $n=k+1$ 的情形有
$\begin{aligned} & a_{0} a_{1} \cdots a_{k+1}\left(\frac{1}{a_{0}}+\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}+\frac{1}{a_{k+1}}\right) \\=& a_{0} a_{1} \cdots a_{k}\left(\frac{1}{a_{0}}+\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}\right) a_{k+1}+a_{0} a_{1} \cdots a_{k} \\=& a_{k+1}+a_{0} a_{1} \cdots a_{k} \\=& 1 \end{aligned}$
故命题对 $n=k+1$ 成立．
所以，对任意正整数 $n$，命题都成立．
答案
解析
备注
