有 $n(n>12)$ 个人参加某次数学邀请赛，试卷由 $15$ 个填空题组成，每答对 $ 1$ 题得 $1$ 分，不答或答错得 $ 0$ 分．分析每一 种可能的得分情况，发现：只要其中任意 $12$ 个人得分之和不少于 $36$ 分，则这 $n$ 个人中至少有 $3$ 个人答对了至少 $3$ 个同样的题．求 $n$ 的最小可能值．
【难度】
【出处】
2009年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$n$ 的最小可能值为 $911$．
（1）首先证明 $911$ 满足条件．
若每个学生至少答对 $3$ 个题．由于每个学生答对 $3$ 个题的不 同情况有 $\mathrm{C}_{15}^{3}=455$ 种，若有 $911$ 名学生参赛，则由抽屉原则知，其中至少有 $3$ 名学生答对了同样 $3$ 个题．
若有一名学生答对题数不多于 $ 2$，则其余人中答对不超过 $3$ 个题的学生不能超过 $10$ 人（否则他们与第一个学生的分数总和少于 $36$ 分）．对于余下的 $911-11 = 900$（个）学生，每个学生答对的题数都不小于 $4$．由于 $C_{4}^{3}=4,4 \times 900>455 \times 2$，故其中至少有 $ 3$ 名学生答对了同样 $3$ 个题．
（2）若有 $910$ 名学生参赛，将这些学生分成 $455$ 组，每组 $ 2$ 人，每组学生恰答对同样的 $3$ 个题此时不满足题设条件．
综上，如 $n_{\min }=911$．
（1）首先证明 $911$ 满足条件．
若每个学生至少答对 $3$ 个题．由于每个学生答对 $3$ 个题的不 同情况有 $\mathrm{C}_{15}^{3}=455$ 种，若有 $911$ 名学生参赛，则由抽屉原则知，其中至少有 $3$ 名学生答对了同样 $3$ 个题．
若有一名学生答对题数不多于 $ 2$，则其余人中答对不超过 $3$ 个题的学生不能超过 $10$ 人（否则他们与第一个学生的分数总和少于 $36$ 分）．对于余下的 $911-11 = 900$（个）学生，每个学生答对的题数都不小于 $4$．由于 $C_{4}^{3}=4,4 \times 900>455 \times 2$，故其中至少有 $ 3$ 名学生答对了同样 $3$ 个题．
（2）若有 $910$ 名学生参赛，将这些学生分成 $455$ 组，每组 $ 2$ 人，每组学生恰答对同样的 $3$ 个题此时不满足题设条件．
综上，如 $n_{\min }=911$．
答案
解析
备注
