设 $M$ 是一个由实数集 $R$ 去掉有限个元素后得到的集合．证明：对任意正整数 $n$，都存在 $n$ 次多项式 $f(x)$，使得 $f(x)$ 的所有系数及 $n$ 个实根都属于 $M$．
【难度】
【出处】
2009年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a$ 为集合 $T=\{x \in \mathbf{R} | x \notin M\}$ 中绝对值最大的元素，取实数 $k>\max \{|a|, 1\}$．
对任意的正整数 $n$，考察 $n$ 次多项式 $f(x)=k(x+k)^{n}$．
其 $m$ 次项系数为 $k \cdot \mathrm{C}_{n}^{m} \cdot k^{n-m} \geqslant k$，由 $k$ 的选取可知，$f(x)$ 的所有系数均不属于 $T$，即必属于 $M$．同样的，$-k$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 重实根，也属于 $M$．
故 $n$ 次多项式 $f(x)=k(x+k)^{n}$ 满足条件．
对任意的正整数 $n$，考察 $n$ 次多项式 $f(x)=k(x+k)^{n}$．
其 $m$ 次项系数为 $k \cdot \mathrm{C}_{n}^{m} \cdot k^{n-m} \geqslant k$，由 $k$ 的选取可知，$f(x)$ 的所有系数均不属于 $T$，即必属于 $M$．同样的，$-k$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 重实根，也属于 $M$．
故 $n$ 次多项式 $f(x)=k(x+k)^{n}$ 满足条件．
答案
解析
备注
