求所有的整数 $k$，使得存在正整数 $a$ 和 $b$，满足 $\dfrac{b+1}{a}+\dfrac{a+1}{b}=k$．
【难度】
【出处】
2010年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于固定的 $k$，在满足 $\dfrac{b+1}{a}+\dfrac{a+1}{b}=k$ 的 $a、b$ 中，取一组 $a、b$ 使得 $b$ 最小，则 $x^{2}+(1-k b) x+b^{2}+b=0$ 的一根为 $x= a$．
设另一根为 $x=a^\prime$，则由 $a+a^\prime=kb-1$ 知 $a^\prime\in Z$，且 $a \cdot a^{\prime}=b(b+1)$，因此 $a^\prime>0$．
又 $\dfrac{b+1}{a^{\prime}}+\dfrac{a^{\prime}+1}{b}=k$，由 $b$ 的假定知 $a \geqslant b, a^{\prime} \geqslant b$，因此 $a, a^{\prime}$ 中必有一个为 $b$，不妨设 $a=b$，这样就有 $k=2+\dfrac{2}{b}$．
所以 $b=1,2$，从而 $k= 3,4$．
取 $a=b=1$ 知 $k=4$ 可取到，取 $a=b=2$ 知 $k=3$ 可取到．所以 $k= 3,4$．
设另一根为 $x=a^\prime$，则由 $a+a^\prime=kb-1$ 知 $a^\prime\in Z$，且 $a \cdot a^{\prime}=b(b+1)$，因此 $a^\prime>0$．
又 $\dfrac{b+1}{a^{\prime}}+\dfrac{a^{\prime}+1}{b}=k$，由 $b$ 的假定知 $a \geqslant b, a^{\prime} \geqslant b$，因此 $a, a^{\prime}$ 中必有一个为 $b$，不妨设 $a=b$，这样就有 $k=2+\dfrac{2}{b}$．
所以 $b=1,2$，从而 $k= 3,4$．
取 $a=b=1$ 知 $k=4$ 可取到，取 $a=b=2$ 知 $k=3$ 可取到．所以 $k= 3,4$．
答案
解析
备注
