平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点．
求证：平面上的全体有理点可分成 $3$ 个两两不交的集合，满足条件：
（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含 $3$ 个点分属于这 $3$ 个集合；
（2）在任何一条直线上都不可能有 $3$ 个点分别属于这 $3$ 个集合．
求证：平面上的全体有理点可分成 $3$ 个两两不交的集合，满足条件：
（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含 $3$ 个点分属于这 $3$ 个集合；
（2）在任何一条直线上都不可能有 $3$ 个点分别属于这 $3$ 个集合．
【难度】
【出处】
2002第17届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然，任一有理点均可唯一地写成 $\left(\dfrac{u}{w}, \dfrac{v}{w}\right)$ 的形成，其中 $u,v,w$ 都是整数，$w>0$，且 $(u, v, w)=1$．令 $A=\left\{\left(\dfrac{u}{w}, \dfrac{v}{w}\right) | 2 \times u\right\}, B=\left\{\left(\dfrac{u}{w}, \dfrac{v}{w}\right)|2| u, 2 \times v\right\},C=\left\{\left(\dfrac{u}{w}, \dfrac{v}{w}\right)|2| u, 2 | v\right\}$
让我们来验证 $3$ 个集合满足条件（I）和（2）．设平面上的直线方程为 $a x+b y+c=0$ 如果其上有两个不同的有理点 $(x_1 ,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，则有 $\left\{\begin{array}{l}{a x_{1}+b y_{1}+c=0} \\ {a x_{2}+b y_{2}+c=0}\end{array}\right.$
如果 $ c = 0$，则可取 $a,b$ 为有理数．如果 $C\ne 0$，不妨设 $c = l$，于是，从上面的联立方程中可解得 $a$ 和 $b$ 的值，当然都是有理数．再通分即知可以使 $a,b,c$ 都是整数且满足 $(a,b,c) = 1$．设有理点 $\left(\dfrac{u}{w}, \dfrac{v}{w}\right)$ 在直线 $a+by+c=0$ 上，于是，有 $L : a u+b v+c w=0$ ①
（1）先证集 $A,B,C$ 满足条件（2）．分以下三种情形
（i）$2 \not| c$．若 $2|u, 2| v$，则由 ① 和 $2|cw$，从而 $2|w$，此与 $(u,v,w,)=1$ 矛盾．所以集合 $C$ 中的点都不能在直线 $L$ 上．
（ii）$2\not| c, 2 \not| b$．若 $2 \not| v$，则 $2\not|au$．从而 $2\not| u$．因此，集合 $B$ 中的点不能在直线 $ L$ 上．
（iii）$2|c, 2| b$．由 ① 得 $2|au$．又因 $(a, b, c)=1$，故 $2\not|a$．所以 $2|u$．这表明集合 $A$ 中的点都不在直线 $L$ 上．
综上可知，$A,B,C$ 这 $3$ 个集合满足条件（2）．
（2）再证集合 $A,B,C$ 满足条件（1）．
设 $D$ 是以有理点 $\left(\dfrac{u_{0}}{w_{0}}, \dfrac{v_{0}}{w_{0}}\right)$ 为圆心，以 $r$ 为半径的圆．取正整数 $k$，使得 $2^{k}>\max \left\{w_{0}, \dfrac{1}{r}\left(\left|u_{0}\right|+\left|v_{0}\right|+1\right)\right\}$ 于是易验证，下列 $3$ 个有理点 $\left(\dfrac{u_{0} 2^{k}+1}{w_{0} 2^{k}},\dfrac{v_{0} 2^{k}}{w_{0} 2^{k}}\right) \in A,\left(\dfrac{u_{0} 2^{k}}{w_{0}2^{k}}, \dfrac{v_{0} 2^{k}+1}{w_{0} 2^{k}}\right) \in B,\left(\dfrac{u_{0}2^{k}}{w_{0}\left(2^{k}+1\right)}, \dfrac{v_{0} 2^{k}}{w_{0}\left(2^{k}+1\right)}\right)\in C$
都在圆 $D$ 的内部．注意，在上述 $3$ 点中，$u,v,w$ 不一定互质．但由于 $2^k > w_0$，故约分之后不改变分子的奇偶性．这表明条件（1）成立．
让我们来验证 $3$ 个集合满足条件（I）和（2）．设平面上的直线方程为 $a x+b y+c=0$ 如果其上有两个不同的有理点 $(x_1 ,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，则有 $\left\{\begin{array}{l}{a x_{1}+b y_{1}+c=0} \\ {a x_{2}+b y_{2}+c=0}\end{array}\right.$
如果 $ c = 0$，则可取 $a,b$ 为有理数．如果 $C\ne 0$，不妨设 $c = l$，于是，从上面的联立方程中可解得 $a$ 和 $b$ 的值，当然都是有理数．再通分即知可以使 $a,b,c$ 都是整数且满足 $(a,b,c) = 1$．设有理点 $\left(\dfrac{u}{w}, \dfrac{v}{w}\right)$ 在直线 $a+by+c=0$ 上，于是，有 $L : a u+b v+c w=0$ ①
（1）先证集 $A,B,C$ 满足条件（2）．分以下三种情形
（i）$2 \not| c$．若 $2|u, 2| v$，则由 ① 和 $2|cw$，从而 $2|w$，此与 $(u,v,w,)=1$ 矛盾．所以集合 $C$ 中的点都不能在直线 $L$ 上．
（ii）$2\not| c, 2 \not| b$．若 $2 \not| v$，则 $2\not|au$．从而 $2\not| u$．因此，集合 $B$ 中的点不能在直线 $ L$ 上．
（iii）$2|c, 2| b$．由 ① 得 $2|au$．又因 $(a, b, c)=1$，故 $2\not|a$．所以 $2|u$．这表明集合 $A$ 中的点都不在直线 $L$ 上．
综上可知，$A,B,C$ 这 $3$ 个集合满足条件（2）．
（2）再证集合 $A,B,C$ 满足条件（1）．
设 $D$ 是以有理点 $\left(\dfrac{u_{0}}{w_{0}}, \dfrac{v_{0}}{w_{0}}\right)$ 为圆心，以 $r$ 为半径的圆．取正整数 $k$，使得 $2^{k}>\max \left\{w_{0}, \dfrac{1}{r}\left(\left|u_{0}\right|+\left|v_{0}\right|+1\right)\right\}$ 于是易验证，下列 $3$ 个有理点 $\left(\dfrac{u_{0} 2^{k}+1}{w_{0} 2^{k}},\dfrac{v_{0} 2^{k}}{w_{0} 2^{k}}\right) \in A,\left(\dfrac{u_{0} 2^{k}}{w_{0}2^{k}}, \dfrac{v_{0} 2^{k}+1}{w_{0} 2^{k}}\right) \in B,\left(\dfrac{u_{0}2^{k}}{w_{0}\left(2^{k}+1\right)}, \dfrac{v_{0} 2^{k}}{w_{0}\left(2^{k}+1\right)}\right)\in C$
都在圆 $D$ 的内部．注意，在上述 $3$ 点中，$u,v,w$ 不一定互质．但由于 $2^k > w_0$，故约分之后不改变分子的奇偶性．这表明条件（1）成立．
答案
解析
备注
