2004第19届CMO试题

• 知识点

  >

  二试代数部分

略

（1）存在性：由 $x_{i+1}=2 x_{i}+2 x_{i}^{3}-2 a^{3}-x_{i-1}, i=1,2, \cdots,n$，及 $x_0=0$ 知每一 $x_i$ 是 $x_1$ 的 $3^ {i-1}$ 次实系数多项式，从而 $x_{n+1}$ 为 $x_1$ 的 $3^n$ 次实系数多项式．由于 $3^n$ 为奇数，故存在实数 $x_1$，使得 $x_{n+1}=0$．由此 $x_1$ 及 $x_0=0$ 可计算出 $x_i$，如此得到的数列 $x_0,x_{1}, \cdots, x_{n+1}$ 满足所给条件．
唯一性：设 $w_{0}, w_{1}, \cdots, w_{n+1}$ 及 $v_{0} \cdot v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n+1}$ 为满足条件的两个数列，则 $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(w_{i+1}+w_{i-1}\right) &=w_{i}+w_{i}^{3}-a^{3} , \frac{1}{2}\left(v_{i+1}+v_{i-1}\right) =v_{i}+v_{i}^{3}-a^{3} \end{aligned}$
因此 $\frac{1}{2}\left(w_{i+1}-v_{i+1}+w_{i-1}-v_{i-1}\right)=\left(w_{i}-v_{i}\right)\left(1+w_{i}^{2}+w_{i} v_{i}+v_{i}^{2}\right)$
设 $|w_i- v_{i_0}|$ 最大，则
$\begin{aligned}\left|w_{i_{0}}-v_{i_{0}}\right| \leqslant | & w_{i_{0}}-v_{i_{0}} |\left(1+w_{i_{0}}^{2}+w_{i_{0}} v_{i_{0}}+v_{i_{0}}^{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}\left|w_{i_{0}+1}-v_{i_{0}+1}\right|+\frac{1}{2}\left|w_{i_{0}-1}-v_{i_{0}-1}\right| \leqslant | w_{i_{0}}-v_{i_{0}} | \end{aligned}$
从而 $\left|w_{i_{0}}-v_{i_{0}}\right|=0$ 或 $1+w_{i_{0}}^{2}+w_{i_{0}} v_{i_{0}}+v_{j_{0}}^{2}=1$ 即 $\left|w_{i_{0}}-v_{i_{0}}\right|=0$ 或 $w_{i_{0}}^{2}+v_{i_{0}}^{2}+\left(w_{i_{0}}+v_{i_{0}}\right)^{2}=0$
所以 $\left|w_{i_{0}}-v_{i_{0}}\right|=0$ 总成立，从而由 $\left|w_{i_{0}}-v_{i_{0}}\right|$ 的最大性知所有 $\left|w_{i}-v_{i}\right|=0$，即 $w_{i}=v_{i}, i=1,2, \cdots, n$．唯一性得证．
（2）设 $|x_{i_0}|$ 最大，则
$\begin{aligned}\left|x_{i_{0}}\right|+\left|x_{i_{0}}\right|^{3}=&\left|x_{i_{0}}\right|\left(1+x_{i_{0}}^{2}\right)|=| \frac{1}{2}\left(x_{i_{0}+1}+x_{i_{0}-1}\right)+a^{3} | \leqslant \frac{1}{2}\left|x_{i_{0}+1}\right|+\frac{1}{2}\left|x_{i_{0}-1}\right|+|a|^{3} \leqslant \left|x_{i_{0}}\right|+|a|^{3} \end{aligned}$
因此 $\left|x_{i_{0}}\right| \leqslant|a|$．所以 $\left|x_{i}\right| \leqslant|a|, i=0,1, \cdots, n+1$ 。