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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
23063 590c22a0857b4200085f854a 高中 解答题 高中习题 在正三角形 $ABC$ 的底边 $BC$ 上取中点 $M$，在与底边 $BC$ 相邻的两条边 $BA$ 和 $CA$ 上分别取点 $P$、$Q$，若线段 $PQ$ 对 $M$ 的张角 $\angle PMQ$ 为锐角，则称点 $P$、$Q$ 亲密．若点 $P$、$Q$ 在 $BA$、$CA$ 上的位置随机均匀分布，则 $P$、$Q$ 亲密的概率称为正三角形的亲密度．试求正三角形的亲密度． 2022-04-17 20:06:24
22479 59bbd5208b403a0008ec5ebb 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$． 2022-04-17 20:36:18
22478 59bbd7818b403a0007a89068 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$． 2022-04-17 20:35:18
21794 590ad6926cddca000a081a63 高中 解答题 高中习题 一个圆环形花坛，分为 $5$ 个区域（如图所示），每个区域种植一种花卉，有 $4$ 种不同颜色供选，要求相邻区域种植的花卉颜色不同，求不同的花卉种植方法数． 2022-04-17 20:18:12
21614 59546703d3b4f9000ad5e7d0 高中 解答题 高中习题 游戏规则如下：如果某次随机地投掷出手中的骰子后有 $2$ 颗骰子的点数之和为 $7$，则获胜．现在手中恰好有 $2$ 颗骰子，有两种奖励（bonus）可以领取：
奖励A，额外的 $2$ 次投掷机会；
奖励B，额外的 $1$ 颗骰子．		 2022-04-17 20:35:10
21359 595c586a866eeb000a0355db 高中 解答题 高考真题 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有 $n$ 位学生，每次活动均需该系 $k$ 位学生参加（$n$ 和 $k$ 都是固定的正整数）．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 $k$ 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 $X$． 2022-04-17 20:13:08
21340 590c21ec857b42000aca37d0 高中 解答题 高中习题 游戏规则如下：如果某次随机地投掷出手中的骰子后有 $2$ 颗骰子的点数之和为 $7$，则获胜．现在手中恰好有 $2$ 颗骰子，但有两种奖励（bonus）可以领取，请问选择哪种奖励获胜的几率大？
奖励A，额外的 $2$ 次投掷机会；
奖励B，额外的 $1$ 颗骰子．		 2022-04-17 20:06:08
21120 5c6a3ee6210b281dbaa9334d 高中 解答题 自招竞赛 一个园丁要把3棵枫树、4棵橡树和5棵桦树栽成一行．他随机确定这些树的排列顺序，各种不同的安排都是等概率的．用 $\frac{m}{n}$ 表示任何两棵桦树都不相邻的概率（化成最简分数以后），求 $m+n$． 2022-04-17 20:04:06
21116 5c6a44ed210b281dbaa93387 高中 解答题 自招竞赛 设正四面体的四个顶点有 $A$，$B$，$C$，$D$，各棱长度为1米．有一个小虫从 $A$ 点开始按以下规则前进：在每一个顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一并一直爬到这个棱的尽头．设它爬了7米以后恰好位于顶点 $A$ 的概率是 $p=\frac{n}{729}$，求 $n$ 的值． 2022-04-17 20:02:06
21096 5c6a5378210b281dbaa93412 高中 解答题 自招竞赛 对一个由互不相同的实数组成的已知序列 ${{r}_{1}} {{r}_{2}} {{r}_{3}} \cdots {{r}_{n}}$，进行一次操作是指将其第二项与第一项比，当且仅当第二项较小时，将两项互换位置，然后将第三项与新的第二项比，当且仅当第三项较小时，将它们互换位置，如此继续下去，直至将最后一项与它新的前一项比，当且仅当最后一项较小时，将它们互换位置，例如下图显示了序列1，9，8，7是如何通过一次操作转换成序列1，8，7，9的．每步所比较的两数用“—”在它们下面标出．显然任一已知序列均可通过一次或多次这样的操作，使最后排成一列递增序列．\[\begin{matrix}\hline
{\underset{\scriptscriptstyle-}{1}} & {\underset{\scriptscriptstyle-}{9}}& 8 & 7 \\\hline
1 & {\underset{\scriptscriptstyle-}{9}} &{\underset{\scriptscriptstyle-}{8}} & 7 \\\hline
1 & 8 & {\underset{\scriptscriptstyle-}{9}} &{\underset{\scriptscriptstyle-}{7}} \\\hline
1 & 8 & 7 & 9 \\\hline
\end{matrix}\]现假设 $n=40$，且 ${{r}_{1}} {{r}_{2}} \cdots {{r}_{40}}$ 互不相同，并随机地排列．设 $p/q$（既约分数）表示通过一次操作将原来第20项（${{r}_{20}}$）换至第30项（29项在其左，10项在其右）的概率，求 $p+q$ 的值．		 2022-04-17 20:51:05
21091 5c6a5ec5210b281db9f4c7d4 高中 解答题 自招竞赛 若任意从 ${{10}^{99}}$ 的正约数中选取一个，它正好也是 ${{10}^{88}}$ 的倍数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 互素，求 $m+n$． 2022-04-17 20:47:05
21079 5c6a749f210b281db9f4c811 高中 解答题 自招竞赛 某个不均匀的硬币被抛掷5次，恰好出现1次正面的概率不等于0，且等于恰好出现2次正面的概率，设既约分数 $\frac{i}{j}$ 是5次中恰好出现3次正面的概率，求 $i+j$． 2022-04-17 20:40:05
21064 5c6b70c3210b281dbaa93490 高中 解答题 自招竞赛 一枚均匀的硬币掷10次，从不接连出现正面的概率为 $\frac{i}{j}$（即约分数），求 $i+j$． 2022-04-17 20:32:05
21055 5c6babb7210b281db9f4c8b2 高中 解答题 自招竞赛 用电波发送两组字母串 $\text{aaa}$ 和bbb，每个字母串都是一个字母接一个字母地发送．由于设备的不完善，发送的六个字母中每一个被接收错的概率都是 $\frac{1}{3}$，应该是b却接收为 $\text{a}$，应该为a却接收为 $\text{b}$．然而每个字母接收的正确与否都不受其他字母接收情况的影响．设 ${{S}_{\text{a}}}$ 表示发送aaa时接收到的三个字母组成的字母串，${{S}_{\text{b}}}$ 表示发送bbb时接收到的三个字母组成的字母串．$P$ 表示按字典顺序 ${{S}_{\text{a}}}$ 先于 ${{S}_{\text{b}}}$ 的概率（例如，按字典顺序aab先于baa；aab先于aba，aba先于 $\text{abb}$ 等），那么当把 $P$ 表示成最简分数时，其分子是什么数？ 2022-04-17 20:28:05
21052 5c6babcc210b281db9f4c8c2 高中 解答题 自招竞赛 抽屉中装有红蓝两种短袜，总数不超过1991只，假设随机地取出两只短袜是同色的可能性恰好为 $\frac{1}{2}$，那么抽屉中红袜的最大可能数是多少才能与以上数据一致？ 2022-04-17 20:26:05
21026 5c6cbde4210b281dbaa934fb 高中 解答题 自招竞赛 从 $\left\{ 1 ,2 ,3, \cdots ,1000 \right\}$ 中随机地取出3个数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，然后再从余下的97个数中随机地取出3个数 ${{b}_{1}}$，${{b}_{2}}$，${{b}_{3}}$，得到一个以 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$ 为长、宽、高的长方体砖，得到一个以 ${{b}_{1}}$，${{b}_{2}}$，${{b}_{3}}$ 为长、宽、高的长方体盒子，设 $p$ 是可以将砖完全放在盒子中且砖的各面分别与盒子的某些面平行的概率．若 $p$ 是一个最简分数，其分子与分母的和是多少？ 2022-04-17 20:11:05
21023 5c6cbe08210b281dbaa9350c 高中 解答题 自招竞赛 Alfred和Bonnie一起玩一种轮流投掷硬币的游戏，每一盘游戏的胜者是第一个投出人头像的人（硬币一面是人头像图案，另一面是景物图案），他们约定：这一盘的胜者在下盘中第二个投掷．设Alfred在第一盘游戏中先投，设他赢得第六盘游戏的概率是 $\frac{m}{n}$，若 $\frac{m}{n}$ 表示为最简分数，求 $m+n$ 的最后的三位数．（例如1842的最后三位数是842，8032的最后三位数是032）． 2022-04-17 20:09:05
21010 5c6e0840210b281dbaa93579 高中 解答题 自招竞赛 一种单人纸牌游戏，其规则如下：将6对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中抽一张牌放在手中，不过当他手中有成对的牌时，就将其放到一边，如果游戏者手中有三张两两互不成对的牌，游戏就结束，否则抽牌继续进行直到书包中没有纸牌为止．设书包空的概率为 $\frac{p}{q}$，这里 $p$，$q$ 为互素的正整数．求 $p+q$． 2022-04-17 20:01:05
21002 5c6e14a6210b281dbaa935aa 高中 解答题 自招竞赛 在坐标平面上一物体从 $\left( 0, 0 \right)$ 出发，逐步移动，每一步的长度都是1，每一步等可能地向上、下、左、右中的任一方向移动．设 $p$ 是物体用不多于6步就从 $\left( 0, 0 \right)$ 到达 $\left( 2, 2 \right)$ 的概率．$p$ 能够写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:56:04
20991 5c6e1549210b281dbaa935d3 高中 解答题 自招竞赛 设重复地投掷一枚均匀的硬币时，连续两次出列背面这前连续5次出现正面的概率为 $p$，$p$ 能够写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:48:04
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