求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}
\sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)&=\sum_{k=1}^{n-1}k[(n+1)-(k+1)]\\
&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1),\\
&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_k^1-2\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_{k+1}^2\\
&=(n+1){\rm C}_n^2-2{\rm C}_{n+1}^3\\
&=3{\rm C}_{n+1}^3-2{\rm C}_{n+1}^3\\
&={\rm C}_{n+1}^3
.\end{split}\]
\sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)&=\sum_{k=1}^{n-1}k[(n+1)-(k+1)]\\
&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1),\\
&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_k^1-2\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_{k+1}^2\\
&=(n+1){\rm C}_n^2-2{\rm C}_{n+1}^3\\
&=3{\rm C}_{n+1}^3-2{\rm C}_{n+1}^3\\
&={\rm C}_{n+1}^3
.\end{split}\]
答案
解析
备注
