Alfred和Bonnie一起玩一种轮流投掷硬币的游戏，每一盘游戏的胜者是第一个投出人头像的人（硬币一面是人头像图案，另一面是景物图案），他们约定：这一盘的胜者在下盘中第二个投掷．设Alfred在第一盘游戏中先投，设他赢得第六盘游戏的概率是 $\frac{m}{n}$，若 $\frac{m}{n}$ 表示为最简分数，求 $m+n$ 的最后的三位数．（例如1842的最后三位数是842，8032的最后三位数是032）．
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
093
【解析】
对每盘游戏，先投掷者赢的概率为 $\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{1}{2}\right)}^{5}}+\cdots =\frac{\frac{1}{2}}{1-{{\left( \frac{1}{2}\right)}^{2}}}=\frac{2}{3}$，
后投掷者赢的概率为 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．令 ${{P}_{k}}$ 表示 $\text{Alfred}$ 赢得第 $k$ 盘游戏的概率．其递归关系是 ${{P}_{1}}=\frac{2}{3}$，对于 $k\geqslant 2$，有 ${{P}_{k}}=\frac{1}{3}{{P}_{k-1}}+\frac{2}{3}\left(1-{{P}_{k-1}} \right)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}{{P}_{k-1}}$．
由上式可得 ${{P}_{k}}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\left({{P}_{k-1}}-\frac{1}{2} \right)$，
所以 ${{P}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{{{\left(-1 \right)}^{k-1}}}{{{3}^{k-1}}}\left( {{P}_{1}}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{{{\left( -1 \right)}^{k-1}}}{2\cdot {{3}^{k}}}$．
当 $k=6$ 时，其概率是 $\frac{364}{729}$．
所以，$m+n=1093$，从而后三位数为 $093$．
后投掷者赢的概率为 $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．令 ${{P}_{k}}$ 表示 $\text{Alfred}$ 赢得第 $k$ 盘游戏的概率．其递归关系是 ${{P}_{1}}=\frac{2}{3}$，对于 $k\geqslant 2$，有 ${{P}_{k}}=\frac{1}{3}{{P}_{k-1}}+\frac{2}{3}\left(1-{{P}_{k-1}} \right)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}{{P}_{k-1}}$．
由上式可得 ${{P}_{k}}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\left({{P}_{k-1}}-\frac{1}{2} \right)$，
所以 ${{P}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{{{\left(-1 \right)}^{k-1}}}{{{3}^{k-1}}}\left( {{P}_{1}}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{{{\left( -1 \right)}^{k-1}}}{2\cdot {{3}^{k}}}$．
当 $k=6$ 时，其概率是 $\frac{364}{729}$．
所以，$m+n=1093$，从而后三位数为 $093$．
答案
解析
备注
