在正三角形 $ABC$ 的底边 $BC$ 上取中点 $M$，在与底边 $BC$ 相邻的两条边 $BA$ 和 $CA$ 上分别取点 $P$、$Q$，若线段 $PQ$ 对 $M$ 的张角 $\angle PMQ$ 为锐角，则称点 $P$、$Q$ 亲密．若点 $P$、$Q$ 在 $BA$、$CA$ 上的位置随机均匀分布，则 $P$、$Q$ 亲密的概率称为正三角形的亲密度．试求正三角形的亲密度．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{6-3\ln 3}4$
【解析】
不妨设 $AB=BC=CA=2$，记 $BP=x$，$0\leqslant x\leqslant 2$．
过 $M$ 作 $PM$ 的垂线，交 $AC$ 于 $R$，则当 $Q$ 落在线段 $AR$ 内部及 $A$ 点上时，$P$ 与 $Q$ 是亲密的．记 $AR$ 的长度为 $y=f(x)$．由$$PM^2+MR^2=RP^2,$$及余弦定理得$$\left(x^2-x+1\right)+\left[(2-y)^2-(2-y)+1\right]=(2-x)^2-(2-x)y+y^2,$$整理得$$y=\dfrac{3x}{1+x},$$因此正三角形的亲密度为$$\dfrac 14\int_{0}^{2}\dfrac{3x}{1+x}{\mathrm d}x=\dfrac{6-3\ln 3}4.$$
过 $M$ 作 $PM$ 的垂线，交 $AC$ 于 $R$，则当 $Q$ 落在线段 $AR$ 内部及 $A$ 点上时，$P$ 与 $Q$ 是亲密的．记 $AR$ 的长度为 $y=f(x)$．由$$PM^2+MR^2=RP^2,$$及余弦定理得$$\left(x^2-x+1\right)+\left[(2-y)^2-(2-y)+1\right]=(2-x)^2-(2-x)y+y^2,$$整理得$$y=\dfrac{3x}{1+x},$$因此正三角形的亲密度为$$\dfrac 14\int_{0}^{2}\dfrac{3x}{1+x}{\mathrm d}x=\dfrac{6-3\ln 3}4.$$
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