设正四面体的四个顶点有 $A$，$B$，$C$，$D$，各棱长度为1米．有一个小虫从 $A$ 点开始按以下规则前进：在每一个顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一并一直爬到这个棱的尽头．设它爬了7米以后恰好位于顶点 $A$ 的概率是 $p=\frac{n}{729}$，求 $n$ 的值．
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
182
【解析】
对 $n=0 1 2\\ \cdots $ 令 ${{a}_{n}}$ 表示小虫走过 $n$ 米后又到达 $A$ 点的概率，则有
${{a}_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1-{{a}_{n}} \right)$．（12）
这是因为小虫走过 $n+1$ 米后到达 $A$ 点的充要条件是：（1）走过 $n$ 米后，它不在 $A$ 点（概率是 $1-{{a}_{n}}$），而且（2）从 $A$ 以外的某一点向 $A$ 走来（概率是 $\frac{1}{3}$）．现在 ${{a}_{0}}=1$（即小虫从 $A$ 点出发），从式（12）可以求出
${{a}_{1}}=0$，${{a}_{2}}=\frac{1}{3}$，${{a}_{3}}=\frac{2}{9}$，${{a}_{4}}=\frac{7}{27}$，${{a}_{5}}=\frac{20}{81}$，${{a}_{6}}=\frac{61}{243}$，
以及 $P={{a}_{7}}=\frac{182}{729}$．所以 $n=182$．
注（12）也可以写成如下形式：${{a}_{n}}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}\left({{a}_{n-1}}-\frac{1}{4} \right)$，
由此不难导出 ${{a}_{n}}$ 的通项公式 ${{a}_{n}}=\frac{1}{4}+{{\left(-\frac{1}{3} \right)}^{n}}\cdot \frac{3}{4}$．
${{a}_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1-{{a}_{n}} \right)$．（12）
这是因为小虫走过 $n+1$ 米后到达 $A$ 点的充要条件是：（1）走过 $n$ 米后，它不在 $A$ 点（概率是 $1-{{a}_{n}}$），而且（2）从 $A$ 以外的某一点向 $A$ 走来（概率是 $\frac{1}{3}$）．现在 ${{a}_{0}}=1$（即小虫从 $A$ 点出发），从式（12）可以求出
${{a}_{1}}=0$，${{a}_{2}}=\frac{1}{3}$，${{a}_{3}}=\frac{2}{9}$，${{a}_{4}}=\frac{7}{27}$，${{a}_{5}}=\frac{20}{81}$，${{a}_{6}}=\frac{61}{243}$，
以及 $P={{a}_{7}}=\frac{182}{729}$．所以 $n=182$．
注（12）也可以写成如下形式：${{a}_{n}}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}\left({{a}_{n-1}}-\frac{1}{4} \right)$，
由此不难导出 ${{a}_{n}}$ 的通项公式 ${{a}_{n}}=\frac{1}{4}+{{\left(-\frac{1}{3} \right)}^{n}}\cdot \frac{3}{4}$．
答案
解析
备注
