题目

查看数据源：590c21ec857b42000aca37d0

游戏规则如下：如果某次随机地投掷出手中的骰子后有 $2$ 颗骰子的点数之和为 $7$，则获胜．现在手中恰好有 $2$ 颗骰子，但有两种奖励（bonus）可以领取，请问选择哪种奖励获胜的几率大？
奖励A，额外的 $2$ 次投掷机会；
奖励B，额外的 $1$ 颗骰子．

【难度】

【出处】

无

【标注】

知识点
>
计数与概率
>
排列数与组合数
题型
>
计数与概率
>
概率计算题
知识点
>
计数与概率
>
随机事件的概率
>
条件概率与独立

【答案】

选择奖励A获胜的几率大

【解析】

选择奖励 A一次掷 $2$ 颗骰子，那么获胜的概率为 $\dfrac{6}{36}=\dfrac 16$．于是，那么掷三次骰子获胜的概率为$$1-\left(\dfrac 56\right)^3=\dfrac{91}{216}\approx 0.4213.$$选择奖励 B点数之和为 $7$ 有三种可能：$1+6$，$2+5$，$3+4$．设掷出的三个骰子点数分别为 $1,6,x$，那么若 $x\in\{1,6\}$，则有 $6$ 种可能；若 $x\notin\{1,6\}$，则有 ${\rm C}_4^1{\rm A}_3^3=24$ 种．类似可得其他两种情况的可能数，因此获胜的概率为$$\dfrac{3\times (6+24)}{6^3}=\dfrac 5{12}\approx 0.4167.$$综上，选择奖励A获胜的几率大．

答案解析备注

更加有趣的问题是，如果可以选择两次奖励（相同的奖励可以叠加）后再进行投掷，那么应该如何选择呢？此时有三种策略：选择两次奖励A；选择两次奖励B；以及选择一次奖励A，一次奖励B． <case>选择两次奖励 A</case>如前所述，获胜概率为$$1-\left(\dfrac 56\right)^5=\dfrac{4651}{7776}\approx 0.5981.$$<case>选择两次奖励B</case>按和为 $7$ 分为一对和两对计算． 一对的情形以 $1+6$ 为例，有 ① $1116$、$1166$、$1666$ 型，共 $14$ 种； ② $116x$ 或 $166x$ 型，共 $96$ 种； ③ $16xx$ 型，共 $48$ 种； ④ $16xy$ 型，共 $96$ 种； 因此该情形共 $3(14+96+48+96)=762$ 种；两对的情形共 $3{\rm A}_4^4=72$ 种； 因此获胜的概率为$$\dfrac{762+72}{6^4}=\dfrac{139}{216}\approx 0.6435.$$<case>选择一次奖励 A、一次奖励 B</case>此时获胜的概率为$$1-\left(\dfrac {7}{12}\right)^3=\dfrac{1385}{1728}\approx 0.8015.$$因此，选择一次奖励A，一次奖励B获胜的概率最大． 选择两次奖励B后获胜概率有一个基于几何模型的算法，简便而直观．<img src="/static/images/4c725f3e750ce808e9362b46ebf6b2fe.png" class="img-responsive" />考虑问题的反面，用 $1-6$ 六种不同的颜色给正四面体的 $4$ 个顶点分别染色，其中不存在任何一条棱的两个端点颜色之和为 $7$．很明显，$4$ 个顶点总共的颜色数为 $1$、$2$ 或 $3$． ① $1$ 种颜色，有 $6$ 种选色方案，$1$ 种染色方案； ② $2$ 种颜色，有 $12$ 种选色方案，有 $14$ 种染色方案； ③ $3$ 种颜色，有 $2^3$ 种选色方案，有 $36$ 种染色方案． 因此不能获胜的概率为$$\dfrac{6+12\times 14+8\times 36}{6^4}=\dfrac{77}{216},$$从而可以获胜的概率为 $\dfrac{139}{216}$． 每日一题[206]掷骰子游戏．