某个不均匀的硬币被抛掷5次，恰好出现1次正面的概率不等于0，且等于恰好出现2次正面的概率，设既约分数 $\frac{i}{j}$ 是5次中恰好出现3次正面的概率，求 $i+j$．
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
283
【解析】
设掷硬币出现正面的概率为 $p$，则掷5次恰好出现1次正面的概率为 $\text{C}_{5}^{1}p{{\left( 1-p \right)}^{4}}$，恰好出现2次正面的概率为 $\text{C}_{5}^{2}{{p}^{2}}{{\left( 1-p \right)}^{3}}$．由题意知
$\text{C}_{5}^{1}p{{\left( 1-p\right)}^{4}}=\text{C}_{5}^{2}{{p}^{2}}{{\left( 1-p \right)}^{3}}$，
所以 $2p=1-p$，$p=\frac{1}{3}$，
$\frac{i}{j}=\text{C}_{5}^{3}{{p}^{3}}{{\left(1-p \right)}^{2}}=10\times \frac{1}{27}\times \frac{4}{9}=\frac{40}{243}$，
$i+j=40+243=283$．
$\text{C}_{5}^{1}p{{\left( 1-p\right)}^{4}}=\text{C}_{5}^{2}{{p}^{2}}{{\left( 1-p \right)}^{3}}$，
所以 $2p=1-p$，$p=\frac{1}{3}$，
$\frac{i}{j}=\text{C}_{5}^{3}{{p}^{3}}{{\left(1-p \right)}^{2}}=10\times \frac{1}{27}\times \frac{4}{9}=\frac{40}{243}$，
$i+j=40+243=283$．
答案
解析
备注
