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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
23718 59b62305b049650007283021 高中 解答题 高中习题 设集合\[A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\} \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).\]如果对于 $A_{2n}$ 的每一个含有 $m (m\geqslant 4)$ 个元素的子集 $P$，$P$ 中必有 $4$ 个元素的和等于 $4n+1$，则称正整数 $m$ 为集合 $A_{2n}$ 的一个“相关数”． 2022-04-17 20:12:30
23717 59b62305b04965000728302b 高中 解答题 高中习题 给定正整数 $n$，已知用克数都是正整数的 $k$ 块砝码和一台天平，可以称出质量为 $1,2,3,\cdots,n$ 克的所有物品．求 $k$ 的最小值 $f(n)$． 2022-04-17 20:11:30
23716 59b62305b04965000728302f 高中 解答题 高中习题 各项均为非负整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 同时满足下列条件：
① $a_1=m$，其中 $m\in \mathbb{N}^{*}$；
② 当正整数 $n \geqslant 2$ 时，恒有 $a_n \leqslant n-1$；
③ 对任意正整数 $n$，均有 $n$ 是 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 的因数．		 2022-04-17 20:11:30
23712 59b62305b049650007283045 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$，$a_0=0$，对任意正整数 $n$ 都有 $\left|a_n-a_{n-1}\right|=2^{n-1}$，$m$ 是给定的正整数，求 $a_m$ 的所有可能取值． 2022-04-17 20:07:30
23704 59b62304b049650007283015 高中 解答题 高中习题 对于无穷数列 $\left\{a_n\right\}$，记 $T=\left\{x\mid x=a_j-a_i, i<j\right\}$，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：存在 $t\in T$，使得只要 $a_m-a_k=t$（$m,k\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $m>k$），必有 $a_{m+1}-a_{k+1}=t$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(t)$． 2022-04-17 20:04:30
23703 59b62305b049650007283037 高中 解答题 高中习题 对于 $n$ 维向量 $A=\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)$，若对任意 $i\in\{1,2,\cdots,n\}$ 均有 $a_i=0$ 或 $a_i=1$，则称 $A$ 为 $n$ 维 $T$ 向量．对于两个 $n$ 维 $T$ 向量 $A,B$，定义 $d(A,B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|a_i-b_i\right|$． 2022-04-17 20:03:30
23695 59ba35d398483e0009c73116 高中 解答题 高中习题 设 $a,d$ 是正整数，求证：等差数列 $\{a+nd\}$（$n\in\mathbb N$）中有无穷多项，它们有相同的质因数． 2022-04-17 20:59:29
23096 590adb2c6cddca0008610f4c 高中 解答题 高中习题 对于数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_n$，经过变换 $T$：交换 $A$ 中某相邻两段的位置（数列 $A$ 中的一项或连续的几项称为一段），得到数列 $T(A)$．例如，数列 $A$：$$a_1,\cdots,a_i,\underbrace{a_{i+1},\cdots,a_{i+p}}_M,\underbrace{a_{i+p+1},\cdots,a_{i+p+q}}_N,a_{i+p+q+1},\cdots,a_n$$经交换 $M$、$N$ 两段位置，变换为数列 $T(A)$：$$a_1,\cdots,a_i,\underbrace{a_{i+p+1},\cdots,a_{i+p+q}}_N,\underbrace{a_{i+1},\cdots,a_{i+p}}_M,a_{i+p+q+1},\cdots,a_n,$$其中 $p\geqslant 1$，$q\geqslant 1$．设 $A_0$ 是有穷数列，令 $A_{k+1}=T\left(A_k\right)$（$k=0,1,2,\cdots$）． 2022-04-17 20:24:24
23095 590adbce6cddca00078f39de 高中 解答题 高考真题 证明以下命题： 2022-04-17 20:24:24
23094 590adc726cddca00092f7080 高中 解答题 高中习题 将 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个正整数按下面的方法排成一个排列，要求：除左边的第一个数外，每个数都与它左边（未必相邻）的某个数相差 $1$，将此种排列称为“$n$ 排列”．比如“$2$ 排列”为当 $n=2$ 时，有 $1,2$；$2,1$；共 $2$ 种排列．“$3$ 排列”为当 $n=3$ 时，有 $1,2,3$；$2,1,3$；$2,3,1$；$3,2,1$；共 $4$ 种排列． 2022-04-17 20:23:24
23062 590c23dc857b42000aca37ea 高中 解答题 自招竞赛 若存在集合 $A,B$ 满足：$A\cap B=\varnothing$，且 $A\cup B=\mathbb N^*$，则称 $(A,B)$ 为 $\mathbb N^*$ 的一个二分划． 2022-04-17 20:05:24
23059 590c24dc857b4200085f8575 高中 解答题 高中习题 试确定，是否存在 $1,2,3,\cdots,2013$ 的一个以 $2013$ 结尾的排列，从第二项起，每一项与前一项的差的绝对值不是 $20$ 就是 $13$？证明你的结论． 2022-04-17 20:03:24
23019 59111eda40fdc700073df567 高中 解答题 高中习题 将一堆小球（数量不小于 $2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含 $n$ 个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_3$；依次进行下去，直到最后得到 $n$ 堆小球（每堆的小球数量均为 $1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$ 是一个与分堆的具体过程无关的定值． 2022-04-17 20:42:23
23018 59111f69e020e7000a798788 高中 解答题 高中习题 对给定的正整数 $n$，若存在若干个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_k=n(k=1,2,\cdots)$，且 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_k$，则称数列 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为正整数 $n$ 的一个“友数列”．若 $n$ 的所有友数列的个数记为 $M_n$，对任意一个友数列 $\sigma _i^n(i=1,2,\cdots,M_n)$，$A\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中数字 $1$ 出现的个数，$B\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中出现的不同数字的个数，则研究下列问题： 2022-04-17 20:42:23
22933 592538f082e8bd0009968401 高中 解答题 高中习题 如图，在正方形 $ABCD$ 内，有五个边长是不同的整数的正方形，且它们的一条对角线都在 $AC$ 上，且 $AB$ 长是 $2015$，求这五个正方形的面积之和的最大值及最小值． 2022-04-17 20:59:22
22882 592e2407eab1df000ab6eb95 高中 解答题 高考真题 将一个正整数 $n$ 表示为 $a_1+a_2+\cdots+a_p(p\in\mathbb N^*)$ 的形式，其中 $a_i\in\mathbb N^*,i=1,2,\cdots,p$，且 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_p$，记所有这样的表示法的种数为 $f(n)$，如 $4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1$，故 $f(4)=5$． 2022-04-17 20:31:22
22881 59657584af3c00000a924652 高中 解答题 高考真题 将一个正整数 $n$ 表示为 $a_1+a_2+\cdots+a_p(p\in\mathbb N^*)$ 的形式，其中 $a_i\in\mathbb N^*,i=1,2,\cdots,p$，且 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_p$，记所有这样的表示法的种数为 $f(n)$，如 $4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1$，故 $f(4)=5$． 2022-04-17 20:30:22
22871 595c89bf6e0c65000a2cfa58 高中 解答题 高中习题 已知含有 $n$ 个元素的正整数集 $A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$（$a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n\geqslant 3$）具有性质 $P$：对任意不大于 $S(A)$（其中 $S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_n$）的正整数 $k$，存在数集 $A$ 的一个子集，使得该子集所有元素之和等于 $k$． 2022-04-17 20:26:22
22870 595c8a156e0c650009e7a1f9 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A_n=\left\{\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\left| x_i\in\{-1,1\} (i=1,2,\cdots,n)\right.\right\}$，${\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n$，${\overrightarrow x}=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$，${\overrightarrow y}=\left(y_1,y_2,\cdots,y_n\right)$，其中 $x_i,y_i\in\{-1,1\} (i=1,2,\cdots,n)$．定义 ${\overrightarrow x}\cdot {\overrightarrow y}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$．若 ${\overrightarrow x}\cdot{\overrightarrow y}=0$，则称 ${\overrightarrow x}$ 与 ${\overrightarrow y}$ 正交． 2022-04-17 20:25:22
22869 595c8ca56e0c65000834422c 高中 解答题 高中习题 设 $m,n (3\leqslant m\leqslant n)$ 是正整数，数列 $A_m:a_1,a_2,\cdots,a_m$，其中 $a_i (1\leqslant i\leqslant m)$ 是集合 $\{1,2,3,\cdots,n\}$ 中互不相同的元素．若数列 $A_m$ 满足：只要存在 $i,j (1\leqslant i<j\leqslant m)$ 使 $a_i+a_j \leqslant n$，总存在 $k (1\leqslant k\leqslant m)$ 有 $a_i+a_j=a_k$，则称数列 $A_m$ 是“好数列”． 2022-04-17 20:25:22
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