题目 将一个正整数 $n$ 表示为 $a_1+a_2+\cdots+a_p(p\in\mathbb N^*)$ 的形式，其中 $a_i\in\mathbb N^*,i=1,2,\cdots,p$，且 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_p$，记所有这样的表示法的种数为 $f(n)$，如 $4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1$，故 $f(4)=5$． 问题1 写出 $f(3)$，$f(5)$ 的值，并说明理由； 答案1 $f(3)=3$，$f(5)=7$ 解析1 因为$$3=3,3=1+2,3=1+1+1,$$所以 $f(3)=3$；<br/>因为$$\begin{split} &5=5,5=1+4,5=2+3,5=1+1+3,\\&5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1,\end{split} $$所以 $f(5)=7$． 备注1 问题2 对任意正整数 $n$，比较 $f(n+1)$ 与 $\dfrac12[f(n)+f(n+2)]$ 的大小，并给出证明； 答案2 $f(n+1)\leqslant\dfrac12[f(n)+f(n+2)]$ 解析2 因为$$f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=5,f(5)=7,f(6)=11,f(7)=15,\cdots,$$猜想$$f(n+1)\leqslant\dfrac12[f(n)+f(n+2)],$$所以只需要证明$$f(n+2)-f(n+1)\geqslant f(n+1)-f(n),$$证明如下：<br/>注意到在 $n$ 的所有表示法前加上“$1+$”就可以得到 $(n+1)$ 的表示法中以 $1$ 为第一项的表示法，因此 $(n+1)$ 的表示法中以 $1$ 为第一项的有 $f(n)$ 种，因此不以 $1$ 为第一项的有 $f(n+1)-f(n)$ 种；<br/>类似的，$(n+2)$ 的表示法中不以 $1$ 为第一项的有 $f(n+2)-f(n+1)$ 种．<br/>在 $(n+1)$ 的表示法中所有不以 $1$ 为第一项的表示法中的最后一项加上 $1$ 就可以得到 $(n+2)$ 的表示法中不以 $1$ 为第一项的表示法，且这些表示法均不相同，所以$$f(n+2)-f(n+1)\geqslant f(n+1)-f(n).$$综上，命题得证． 备注2 问题3 当正整数 $n\geqslant6$ 时，求证：$f(n)\geqslant4n-13$． 答案3 略 解析3 由于当 $n=6$ 时，$f(6)=11$，命题成立；<br/>因此只需要证明当 $n\geqslant6$ 时，$$f(n+1)-f(n)\geqslant4$$即可．<br/>在 $(n+1)$ 的表示法中，以 $1$ 为第一项的有 $f(n)$ 个；<br/>考虑 $(n+1)$ 的表示法中不以 $1$ 为第一项的，至少有三类：<br/><case>情形一</case> $1$ 个数的，$$(n+1)=(n+1),$$共 $1$ 个；<br/><case>情形二</case> $2$ 个数的，$$\begin{split} &(n+1)=2+(n-1),(n+1)=3+(n-2),\cdots,\\&(n+1)=\left[\dfrac{n+1}{2}\right]+(n+1)-\left[\dfrac{n+1}{2}\right],\end{split}$$至少有 $2$ 个；<br/><case>情形三</case> $3$ 个数的，$$(n+1)=\left[\dfrac{n+1}{3}\right]+\left[\dfrac{n+1}{3}\right]+(n+1)-2\left[\dfrac{n+1}{3}\right],\cdots,$$至少有 $1$ 个．<br/>从而$$f(n+1)-f(n)\geqslant4,$$累加得$$f(n)\geqslant 4n-13.$$ 备注3