题目 对于无穷数列 $\left\{a_n\right\}$，记 $T=\left\{x\mid x=a_j-a_i, i<j\right\}$，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：存在 $t\in T$，使得只要 $a_m-a_k=t$（$m,k\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $m>k$），必有 $a_{m+1}-a_{k+1}=t$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(t)$． 问题1 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足\[a_n=\begin{cases}<br/>2n,&n \leqslant 2,\\<br/>2n-5,&n \geqslant 3,<br/>\end{cases}\]判断数列 $\left\{a_n\right\}$ 是否具有性质 $P(2)$？是否具有性质 $P(4)$？（只需写出判断结果） 答案1 数列 $\left\{a_n\right\}$ 不具有性质 $P(2)$，具有性质 $P(4)$ 解析1 略 备注1 问题2 求证：$T$ 是有限集是数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(0)$ 的必要不充分条件； 答案2 略 解析2 <sol>不充分性</sol> 对于周期数列\[<br/>1,1,2,2,1,1,2,2,\cdots,<br/>\]$T=\{0,1\}$ 是有限集，但是由于 $a_2-a_1=0$，$a_3-a_2=1$，所以不具有性质 $P(0)$．<br/><sol>必要性</sol> 因为数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(0)$，所以一定存在 $m,k\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $m>k$，满足\[a_m-a_k=0,\]即 $a_m=a_k$．<br/>记 $d=m-k\in \mathbb{N}^{*}$，由性质 $P(0)$ 的含义可得对任意 $n\in \mathbb{N}^{*}$，均有\begin{align*}<br/>a_{k}&=a_{k+nd},\\<br/>a_{k+1}&=a_{k+1+nd},\\<br/>&\vdots\\<br/>a_{m-1}&=a_{m-1+nd},<br/>\end{align*}所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 中至多有 $m-1$ 个不同的项，进而集合 $T$ 中至多有 $\mathrm{C}_{m-1}^{2}+1$ 个元素，<br/>故 $T$ 是有限集． 备注2 问题3 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正整数的数列，且 $\left\{a_n\right\}$ 既具有性质 $P(2)$，又具有性质 $P(5)$，求证：存在整数 $N$，使得 $a_N,a_{N+1},a_{N+2},\cdots$ 是等差数列． 答案3 略 解析3 设 $a_{m_1}-a_{k_1}=2$，$a_{m_2}-a_{k_2}=5$，$d_1=m_1-k_1$，$d_2=m_2-k_2$，$m=\max\{m_1,m_2\}$．不影响问题的本质，将 $a_1,a_2,\cdots,a_{m-1}$ 从数列 $\{a_n\}$ 中去掉，然后将所有项都减去 $a_m$ 得到新的数列，记为\[\{a_n\}:0,a_1,a_2,\cdots,\]那么有\[a_{kd_1}=2k,a_{kd_2}=5k,\]考虑到\[a_{kd_1d_2}=2kd_2=5kd_1,k\in\mathbb N,\]于是 $d_1=2t$，$d_2=5t$，其中 $t\in\mathbb N^*$．这样我们就有\[a_{2kt}=2k,a_{5kt}=5k,k\in\mathbb N.\]接下来证明 $a_{kt}=k$（$k\in\mathbb N$）．由于\[a_{n+kt}=a_{n+5kt-2kt-2kt}=a_n+5k-2k-2k=a_n+k,\]因此用数学归纳法可知该命题成立．也可以令 $n=kt$ 得到 $a_{kt}=k$．<br/>最后我们证明 $t=1$．设 $a_1=p$，那么必然存在 $x\in\mathbb N$，使得 $a_{1+xt}=y\in\mathbb{N}$，从而有\[y=a_{yt}=a_{1+xt}.\]此时考虑到\[a_{yt+2t}-a_{1+xt}=a_{yt+2t}-a_{yt}=2,\]记\[(yt+2t)-(1+xt)=d,\]那么\[a_{yt+d\cdot 2t}=a_{yt}+2\cdot 2t=a_{yt}+2\cdot d,\]因此 $d=2t$，从而 $(y-x)t=1$，这就意味着 $t=1$．<br/>综上所述，原命题得证． 备注3 每日一题[974]数列的新定义问题．