设 $a,d$ 是正整数，求证：等差数列 $\{a+nd\}$（$n\in\mathbb N$）中有无穷多项，它们有相同的质因数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到\[a(1+d)^n=a+d\cdot a\left({\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2d+\cdots+{\rm C}_n^nd^{n-1}\right),\]因此当 $n=1,2,\cdots$ 时，$a(1+d)^n$ 均为题中等差数列的项．这些项有相同的约数 $1+d$，取 $1+d$ 的质约数即为满足题意的质因数，命题得证．
答案
解析
备注
