已知含有 $n$ 个元素的正整数集 $A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$（$a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n\geqslant 3$）具有性质 $P$：对任意不大于 $S(A)$（其中 $S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_n$）的正整数 $k$，存在数集 $A$ 的一个子集，使得该子集所有元素之和等于 $k$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
写出 $a_1,a_2$ 的值；标注答案$a_1=1$，$a_2=2$解析由题意，显然有$$1\leqslant S(A),$$从而必有$$1\in A.$$又因为$$a_1<a_2<\cdots<a_n,$$所以 $a_1=1$．
同理可得 $a_2=2$． -
证明：“$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 成等差数列”的充要条件是“$S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$”；标注答案略解析
必要性 根据第 $(1)$ 小题的结果，若 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 成等差数列，那么有\[a_n=n,n\in\mathbb N^*,\]于是\[S(A)=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2.\]充分性 由于$$a_1<a_2<\cdots<a_n,$$于是$$a_i\geqslant i,$$其中 $i=1,2,\cdots,n$．因此\[S(A)\geqslant 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2,\]等号当且仅当 $a_n=n,n\in\mathbb N^*$ 时取得．
因此当 $S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$ 时，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 成等差数列．
综上所述，原命题得证． -
若 $S(A)=2017$，求当 $n$ 取最小值时，$a_n$ 的最大值．标注答案$1009$解析$a_n$ 的最大值为 $1009$．
假设 $a_n\geqslant 1010$，那么\[a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\leqslant 1007,\]当 $k=1008,1009$ 时，无法用满足题意的方式凑出 $k$，矛盾．
取\[A=\{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009\},\]即可完成符合题意的 $n=11$ 的构造．接下来只需要证明 $n$ 不可能小于 $11$．
若 $n\leqslant 10$，那么数集 $A$ 的非空子集个数为$$2^n-1\leqslant 1023,$$因此最多表示 $1023$ 个不同的 $k$，不符合要求．
综上所述，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
